Matrices & Systèmes

Opérations matricielles, déterminant, inverse, systèmes linéaires.

📐 5 résultats·📂 2 sections·Bac Économie & Gestion · CNP Tunisie

I. Opérations sur les matrices

Tableau de m lignes et n colonnes.
Addition : (A+B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
Multiplication scalaire : (λA)ᵢⱼ = λaᵢⱼ
Produit : (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ  (si A m×p et B p×n)

💡 Remarque : Le produit AB est défini si nombre de colonnes de A = nombre de lignes de B.

det(2×2) : |a b; c d| = ad − bc
det(3×3) : développement par rapport à une ligne/colonne
= a₁₁(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃−a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁)

A est inversible ⟺ det(A) ≠ 0
A⁻¹ = (1/det A)·adj(A)
Pour ordre 2 : si A=(a b; c d), A⁻¹ = (1/(ad−bc))·(d −b; −c a)

II. Systèmes linéaires

Système AX = B :
Si det(A) ≠ 0 → solution unique : X = A⁻¹·B
Si det(A) = 0 → soit aucune solution, soit infinité.

1. Former la matrice augmentée (A|B)
2. Opérations élémentaires sur les lignes :
   Lᵢ ← Lᵢ + k·Lⱼ  ;  Lᵢ ↔ Lⱼ  ;  Lᵢ ← λLᵢ
3. Réduire en forme échelonnée réduite
4. Lire la solution ou conclure sur la compatibilité.

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