Tome II · CH 03Géométrie
Déplacements et Antidéplacements
Groupe des déplacements (isométries directes) et antidéplacements (isométries indirectes). Composition, décomposition en symétries axiales.
📝 24 exercices·📋 Bac 2015–2024·⏱ ~5h
📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions
Programme CNP Tunisie · 4ème année Section Mathématiques
T1DéfinitionDéplacement
Un déplacement est une isométrie directe du plan (conserve distances et orientation). Les déplacements forment un groupe. Tout déplacement est une translation ou une rotation.
T2DéfinitionAntidéplacement
Un antidéplacement est une isométrie indirecte du plan (conserve les distances, inverse l'orientation). Tout antidéplacement est une symétrie axiale ou une symétrie glissée.
T3ThéorèmeComposée de deux isométries
Déplacement ∘ Déplacement = Déplacement. Antidéplacement ∘ Antidéplacement = Déplacement. Déplacement ∘ Antidéplacement = Antidéplacement.
T4ThéorèmeDécomposition en symétries axiales
Tout déplacement est la composée d'un nombre pair de symétries axiales. Tout antidéplacement est la composée d'un nombre impair de symétries axiales.
T5PropriétéÉcriture complexe des antidéplacements
Tout antidéplacement s'écrit z'=az̄+b (|a|=1, b∈ℂ). C'est une symétrie axiale si b+aā·b̄=0, sinon une symétrie glissée.
T6ThéorèmeInvariants d'un antidéplacement
Symétrie axiale d'axe (Δ) : tous les points de (Δ) sont fixes. Symétrie glissée : aucun point fixe.
T7PropriétéAxe d'une symétrie axiale
Si f(z)=az̄+b est une symétrie axiale, son axe passe par le milieu de [M, f(M)] pour tout M et est perpendiculaire à MM'.
📝 Exercices
moyen
Ex 01 — Identification de type
f(z)=−z̄+2+2i. Identifier si c'est un déplacement ou antidéplacement. Préciser le type exact.
moyen
Ex 02 — Écriture complexe
g(z)=iz̄+1−i. Montrer que g est un antidéplacement. Calculer g(0), g(1), g(i). Identifier l'axe.
difficile
Ex 03 — Composée
Rotation R(O,π/2) : z'=iz. Symétrie axiale σ : z'=z̄. Calculer σ∘R et R∘σ. Identifier chaque résultat.
difficile
Ex 04 — Décomposition
Soit f(z)=−z+2. Décomposer f en produit de deux symétries axiales.
bac
Ex 05 — Exercice type Bac
f(z)=e^(iπ/3)z̄+1+i. 1) Montrer que f est un antidéplacement. 2) Montrer que f est une symétrie axiale. 3) Déterminer son axe. 4) Vérifier que les points de l'axe sont invariants.