Nombres Complexes

L'ensemble ℂ, forme algébrique, trigonométrique et exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes, applications géométriques.

📝 40 exercices·⏱ ~8h

📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions

Programme CNP Tunisie · 4ème année Section Mathématiques

T1DéfinitionNombre complexe — forme algébrique

Un nombre complexe z s'écrit z=a+ib avec a=Re(z) (partie réelle), b=Im(z) (partie imaginaire), i²=−1. ℂ est un corps. z est réel si b=0 ; imaginaire pur si a=0.

T2DéfinitionConjugué

Le conjugué de z=a+ib est z̄=a−ib. Propriétés : z+z̄=2a∈ℝ, z·z̄=a²+b²∈ℝ⁺, (z+w)̄=z̄+w̄, (z·w)̄=z̄·w̄, (z/w)̄=z̄/w̄.

T3DéfinitionModule

Le module de z=a+ib est |z|=√(a²+b²)=√(z·z̄). Propriétés : |z·w|=|z|·|w|, |z/w|=|z|/|w|, |z+w|≤|z|+|w| (inégalité triangulaire), |z̄|=|z|.

T4DéfinitionArgument

L'argument de z≠0, noté arg(z), est l'angle θ∈[−π,π[ tel que z=|z|(cos θ+i sin θ). arg(z·w)=arg(z)+arg(w)[2π], arg(z/w)=arg(z)−arg(w)[2π], arg(z̄)=−arg(z)[2π].

T5DéfinitionForme trigonométrique

z = r(cos θ + i sin θ) avec r=|z|≥0 et θ=arg(z). Multiplication : r₁(cos θ₁+i sin θ₁)·r₂(cos θ₂+i sin θ₂) = r₁r₂(cos(θ₁+θ₂)+i sin(θ₁+θ₂)).

T6DéfinitionForme exponentielle (Notation d'Euler)

Pour θ∈ℝ : e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Tout complexe non nul s'écrit : z = r·e^(iθ). Propriété : e^(iθ)·e^(iφ) = e^(i(θ+φ)).

T7ThéorèmeFormule de Moivre

Pour tout entier n∈ℤ et θ∈ℝ : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ). En notation exponentielle : (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ).

T8Formule cléFormules de linéarisation

cos θ = (e^(iθ)+e^(−iθ))/2 | sin θ = (e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i). Ces formules permettent d'exprimer cosⁿθ et sinⁿθ en termes de cos(kθ) et sin(kθ).

T9ThéorèmeRacines n-ièmes de l'unité

Les racines n-ièmes de 1 (solutions de zⁿ=1) sont les n complexes : ωₖ = e^(2ikπ/n) pour k=0,1,...,n−1. Ils forment un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité.

T10ThéorèmeRacines n-ièmes d'un complexe

Soit z₀=r·e^(iθ). Les solutions de zⁿ=z₀ sont : zₖ = r^(1/n)·e^(i(θ+2kπ)/n) pour k=0,...,n−1. Il y a exactement n racines.

T11ThéorèmeÉquation du second degré dans ℂ

az²+bz+c=0 (a,b,c∈ℂ, a≠0). Discriminant Δ=b²−4ac∈ℂ. Si δ²=Δ, les solutions sont z=(-b±δ)/(2a). Dans ℝ : Δ>0 → 2 solutions réelles ; Δ=0 → 1 solution réelle ; Δ<0 → 2 solutions complexes conjuguées.

T12PropriétéInterprétation géométrique dans le plan

|z−z'|=distance entre les points d'affixes z et z'. arg((z−z')/(z''-z'))=mesure de l'angle orienté (M'M, M'M'').

T13ThéorèmeTransformation du plan — écriture complexe

Translation de vecteur w : z'=z+w. Rotation de centre Ω (d'affixe ω), angle θ : z'−ω=(z−ω)e^(iθ). Homothétie de centre Ω, rapport k : z'−ω=k(z−ω).

T14PropriétéPoints alignés et cocycliques

A, B, C alignés ⟺ (z_C−z_A)/(z_B−z_A) ∈ ℝ. A, B, C, D cocycliques (ou 3 alignés) ⟺ (z_C−z_A)/(z_B−z_A) · (z_D−z_B)/(z_C−z_B) ∈ ℝ.