Ensemble ℂ et opérations
Définitionz = a+ib, a,b∈ℝ, i²=−1
Re(z)=a (partie réelle) ; Im(z)=b (partie imaginaire)
Conjugué : z̄ = a−ib
Propriétés du conjugué :
z+z̄ = 2Re(z) ; z−z̄ = 2i·Im(z)
z·z̄ = |z|² ; z̄̄ = z
z réel ↔ Im(z)=0 ↔ z=z̄
z imaginaire pur ↔ Re(z)=0 ↔ z=−z̄
Inverse : z⁻¹ = z̄/|z|² (z≠0)
Module et argument
Formule clé|z| = √(a²+b²) (module, toujours ≥ 0)
arg(z) = θ : cosθ=a/|z|, sinθ=b/|z| (mod 2π)
Propriétés :
|z₁z₂| = |z₁|·|z₂|
arg(z₁z₂) = arg(z₁)+arg(z₂) (mod 2π)
|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| ; arg(z₁/z₂) = arg(z₁)−arg(z₂)
|z̄| = |z| ; arg(z̄) = −arg(z)
|zⁿ| = |z|ⁿ ; arg(zⁿ) = n·arg(z)
Formule d'Euler — Forme exponentielle
Formule cléeⁱᶿ = cosθ + i sinθ (formule d'Euler)
Forme exponentielle : z = r·eⁱᶿ avec r=|z|, θ=arg(z)
Linéarisation (très utile pour Moivre) :
cosθ = (eⁱᶿ + e⁻ⁱᶿ)/2
sinθ = (eⁱᶿ − e⁻ⁱᶿ)/(2i)
Identité d'Euler : eⁱᵖ + 1 = 0
⚡ La forme exponentielle est la plus efficace pour les calculs de puissance et racines.