Nombre dérivé et tangente
Définitionf'(a) = lim(x→a) [f(x)−f(a)]/(x−a)
= lim(h→0) [f(a+h)−f(a)]/h
Interprétation géométrique :
f'(a) = pente de la tangente en M(a,f(a))
Équation de la tangente en a :
y = f'(a)·(x−a) + f(a)
Approximation affine au voisinage de a :
f(x) ≈ f(a) + f'(a)·(x−a) pour x proche de a
Table des dérivées usuelles
Formule clé(c)' = 0 (constante)
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ (n∈ℤ, x≠0 si n<0)
(√x)' = 1/(2√x)
(1/x)' = −1/x²
(eˣ)' = eˣ
(ln x)' = 1/x (x>0)
(sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x
(tan x)' = 1+tan²x = 1/cos²x
Règles de dérivation
Formule cléSomme : (u+v)' = u'+v'
Produit : (uv)' = u'v + uv'
Quotient : (u/v)' = (u'v−uv')/v²
Composée : (f∘g)' = (f'∘g)·g'
Formes chaîne (très utilisées) :
(uⁿ)' = n·u'·uⁿ⁻¹
(eᵘ)' = u'·eᵘ
(ln u)' = u'/u (u>0)
(√u)' = u'/(2√u)
⚡ La dérivée d'une composée (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x) est la règle la plus utilisée.