f : I → J est bijective si et seulement si :
• f est injective (x₁≠x₂ ⟹ f(x₁)≠f(x₂))
• f est surjective (∀y∈J, ∃x∈I, f(x)=y)
Équivalent pour les fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle.
Dérivée de la fonction réciproque
Théorème
Si f est dérivable et bijective sur I avec f'(x)≠0 :
(f⁻¹)'(y) = 1 / f'(f⁻¹(y))
Ou encore : si y = f(x), alors (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x)
⚡ La courbe de f⁻¹ est le symétrique de celle de f par rapport à la droite y=x.
Exercices
EX-FR1MoyenRéciproque et dérivée
Soit f(x) = x³ + x définie sur ℝ. Montrer que f est bijective. Calculer (f⁻¹)'(2).