Fonctions réciproques

Bijections, fonctions réciproques, fonctions circulaires réciproques (arcsin, arccos, arctan) et leurs propriétés.

📝 26 exercices·⏱ ~5h

📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions

Programme CNP Tunisie · 4ème année Section Mathématiques

T1DéfinitionInjection, Surjection, Bijection

f:E→F est injective si f(x)=f(y)⟹x=y. Surjective si ∀y∈F, ∃x∈E, f(x)=y. Bijective si injective et surjective. Toute fonction continue et strictement monotone est bijective sur son image.

T2ThéorèmeExistence de la réciproque

f bijective de E sur F admet une unique réciproque f⁻¹:F→E définie par : y=f(x) ⟺ x=f⁻¹(y). On a f∘f⁻¹=IdF et f⁻¹∘f=IdE.

T3PropriétéCourbe de f⁻¹ — symétrie

La courbe de f⁻¹ est le symétrique de la courbe de f par rapport à la première bissectrice y=x.

T4ThéorèmeDérivée de la réciproque

Si f est dérivable en a et f'(a)≠0, alors f⁻¹ est dérivable en b=f(a) et : (f⁻¹)'(b) = 1/f'(a) = 1/f'(f⁻¹(b)).

T5DéfinitionFonction arcsin

arcsin est la réciproque de sin restreinte à [−π/2,π/2]. Domaine : [−1,1]. Image : [−π/2,π/2]. arcsin(sin x)=x pour x∈[−π/2,π/2]. sin(arcsin x)=x pour x∈[−1,1].

T6Formule cléDérivée de arcsin

arcsin'(x) = 1/√(1−x²) pour x∈]−1,1[.

T7DéfinitionFonction arccos

arccos est la réciproque de cos restreinte à [0,π]. Domaine : [−1,1]. Image : [0,π]. arccos(cos x)=x pour x∈[0,π]. Relation : arcsin(x)+arccos(x)=π/2.

T8Formule cléDérivée de arccos

arccos'(x) = −1/√(1−x²) pour x∈]−1,1[.

T9DéfinitionFonction arctan

arctan est la réciproque de tan restreinte à ]−π/2,π/2[. Domaine : ℝ. Image : ]−π/2,π/2[. Limites : lim(x→+∞) arctan x = π/2 ; lim(x→−∞) arctan x = −π/2.

T10Formule cléDérivée de arctan

arctan'(x) = 1/(1+x²) pour x∈ℝ.

T11Formule cléFormules trigonométriques réciproques

arctan(x)+arctan(1/x)=π/2 (x>0) | arctan(x)+arctan(1/x)=−π/2 (x<0) | 2arctan(x)=arcsin(2x/(1+x²)) si |x|≤1

T12ThéorèmeContinuité de la réciproque

Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f⁻¹ est continue et strictement monotone (même sens) sur f(I).