Tome I · CH 02Analyse
Suites Réelles
Suites numériques : monotonie, convergence, théorèmes fondamentaux (suite monotone bornée, suites adjacentes, valeur adhérente).
📝 28 exercices·📋 Bac 2015–2024·⏱ ~5h
📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions
Programme CNP Tunisie · 4ème année secondaire Section Mathématiques
T1DéfinitionSuite numérique
Une suite réelle (uₙ) est une application de ℕ (ou partie de ℕ) dans ℝ. uₙ est le terme général de rang n.
T2DéfinitionSuite arithmétique
(uₙ) est arithmétique de raison r si : ∀n∈ℕ, uₙ₊₁ = uₙ + r. Terme général : uₙ = u₀ + nr. Somme : Sₙ = (n+1)(u₀+uₙ)/2.
T3DéfinitionSuite géométrique
(uₙ) est géométrique de raison q (q≠0) si : ∀n∈ℕ, uₙ₊₁ = q·uₙ. Terme général : uₙ = u₀·qⁿ. Somme (q≠1) : Sₙ = u₀·(1−qⁿ⁺¹)/(1−q).
T4DéfinitionSuite croissante / décroissante
(uₙ) est croissante si ∀n, uₙ₊₁ ≥ uₙ ; décroissante si ∀n, uₙ₊₁ ≤ uₙ. Pour l'étudier : calculer uₙ₊₁−uₙ ou uₙ₊₁/uₙ (si uₙ>0).
T5DéfinitionSuite bornée
(uₙ) est majorée si ∃M∈ℝ, ∀n, uₙ ≤ M. Minorée si ∃m∈ℝ, ∀n, uₙ ≥ m. Bornée si à la fois majorée et minorée.
T6DéfinitionConvergence — définition
(uₙ) converge vers ℓ si : ∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n≥N, |uₙ−ℓ|<ε. On note : lim(n→+∞) uₙ = ℓ. ℓ est appelée la limite de la suite.
T7ThéorèmeUnicité de la limite
Si (uₙ) converge, sa limite est unique.
T8ThéorèmeToute suite convergente est bornée
Si (uₙ) converge, alors (uₙ) est bornée. La réciproque est fausse (ex : (−1)ⁿ).
T9ThéorèmeThéorème — Suite monotone bornée
Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
T10ThéorèmeThéorème des gendarmes pour les suites
Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ pour tout n, et lim vₙ = lim wₙ = ℓ, alors lim uₙ = ℓ.
T11DéfinitionSuites adjacentes
(uₙ) et (vₙ) sont adjacentes si : (uₙ) est croissante, (vₙ) est décroissante, et lim(vₙ−uₙ)=0.
T12ThéorèmeThéorème des suites adjacentes
Si (uₙ) et (vₙ) sont adjacentes, elles convergent vers la même limite ℓ, et ∀n : uₙ ≤ ℓ ≤ vₙ.
T13ThéorèmeSuite récurrente — point fixe
Soit uₙ₊₁ = f(uₙ). Si (uₙ) converge vers ℓ et f est continue en ℓ, alors ℓ est un point fixe de f : f(ℓ) = ℓ.
T14PropriétéSuite récurrente linéaire d'ordre 1
uₙ₊₁ = a·uₙ + b (a≠1) : point fixe ℓ = b/(1−a). On pose vₙ = uₙ−ℓ. Alors (vₙ) est géométrique de raison a.
T15ThéorèmeLimite d'une suite géométrique
Soit q∈ℝ. lim qⁿ = 0 si |q|<1 ; lim qⁿ = 1 si q=1 ; lim qⁿ = +∞ si q>1 ; (qⁿ) diverge si q≤−1.
T16ThéorèmeOpérations sur les limites de suites
Si lim uₙ = ℓ et lim vₙ = m : lim(uₙ+vₙ)=ℓ+m, lim(uₙ·vₙ)=ℓ·m, lim(uₙ/vₙ)=ℓ/m (m≠0). Formes indéterminées : ∞−∞, ∞/∞, 0×∞.
T17Formule cléLimites usuelles de suites
lim nᵅ = +∞ (α>0) | lim 1/nᵅ = 0 (α>0) | lim n!/nⁿ = 0 | lim (1+1/n)ⁿ = e | lim ln(n)/n = 0 | lim qⁿ/n! = 0
📝 Exercices
facile
Ex 01 — Suite arithmétique
(uₙ) arithmétique : u₀=3, r=5. Calculer u₁₀ et S₁₀ = u₀+u₁+...+u₁₀.
facile
Ex 02 — Suite géométrique
(uₙ) géométrique : u₀=2, q=3. Calculer u₅ et S₅ = u₀+...+u₅.
moyen
Ex 03 — Monotonie par différence
uₙ = n/(n+1). Étudier la monotonie de (uₙ). Cette suite est-elle bornée ?
moyen
Ex 04 — Monotonie par quotient
uₙ = 3ⁿ/n!. Étudier la monotonie puis la convergence.
moyen
Ex 05 — Suite récurrente — point fixe
uₙ₊₁ = (uₙ+3)/2, u₀=1. Montrer que (uₙ) converge et trouver sa limite.
moyen
Ex 06 — Suite récurrente linéaire
uₙ₊₁ = 2uₙ + 1, u₀=0. Déterminer la limite ou montrer la divergence.
difficile
Ex 08 — Suites adjacentes
uₙ = Σₖ₌₁ⁿ 1/k − ln(n). Montrer que (uₙ) converge (constante d'Euler).
difficile
Ex 09 — Suite bornée non convergente
Montrer que (uₙ) = (−1)ⁿ est bornée mais diverge.
bac
Ex 10 — Exercice type Bac
uₙ₊₁ = √(2uₙ+3), u₀=1. 1) Montrer par récurrence que uₙ∈[1,3]. 2) Montrer que (uₙ) est croissante. 3) En déduire que (uₙ) converge et trouver sa limite.
Progression
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Définition
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