Tome II · CH 04Géométrie
Similitudes
Similitudes directes et indirectes, homothéties, rapport et angle de similitude, point fixe, composées, applications géométriques.
📝 24 exercices·📋 Bac 2015–2024·⏱ ~5h
📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions
Programme CNP Tunisie · 4ème année Section Mathématiques
T1DéfinitionSimilitude directe
Une similitude directe est une transformation z'=az+b (a,b∈ℂ, a≠0). Rapport : |a|, angle : arg(a). Si |a|=1 : c'est un déplacement. Si b=0 et a réel : homothétie de centre O.
T2DéfinitionSimilitude indirecte
Une similitude indirecte est de la forme z'=az̄+b (a,b∈ℂ, a≠0). Rapport : |a|. Si |a|=1 : c'est un antidéplacement.
T3DéfinitionHomothétie
Homothétie de centre Ω (affixe ω), rapport k∈ℝ* : z'−ω=k(z−ω). Si k>0 : Ω, M, M' alignés (même côté). Si k<0 : côtés opposés. |k|=rapport de similitude.
T4ThéorèmePoint fixe d'une similitude directe
f(z)=az+b, a≠1. Point fixe unique ω=b/(1−a). On peut réécrire : z'−ω=a(z−ω). Donc f est une rotation de centre ω et d'angle arg(a) composée d'une homothétie de rapport |a|.
T5ThéorèmeComposée de similitudes directes
f₁(z)=a₁z+b₁, f₂(z)=a₂z+b₂. (f₂∘f₁)(z)=a₂a₁z+(a₂b₁+b₂). Rapport : |a₁a₂|. Angle : arg(a₁)+arg(a₂). Si a₁a₂=1 : la composée est une translation.
T6PropriétéConservation des angles
Une similitude directe conserve les angles orientés. Une similitude indirecte renverse les angles orientés (conserve les angles non orientés = les figures sont "miroir").
T7ThéorèmeImage d'un cercle par une similitude
L'image d'un cercle par une similitude est un cercle (ou une droite si le cercle passe par un point de discontinuité). Le rapport des rayons est le rapport de similitude.
T8CorollaireSimilitude envoyant deux points sur deux autres
Il existe une unique similitude directe envoyant A sur A' et B sur B'. Son rapport est |A'B'|/|AB| et son angle est arg((z_B'−z_A')/(z_B−z_A)).
T9PropriétéDeux cercles — similitude
Deux cercles (distincts) sont toujours en situation de similitude : il existe une similitude directe envoyant l'un sur l'autre. Le centre de similitude est le point qui divise les centres dans le rapport des rayons.
📝 Exercices
facile
Ex 01 — Homothétie
Homothétie de centre O(0,0) et rapport 3. Trouver l'image de M(1,2) et de A(−1,1). Calculer |OA'|/|OA|.
moyen
Ex 02 — Point fixe
f(z)=(1+i)z+2−2i. Trouver le point fixe, le rapport et l'angle. Réécrire f sous la forme z'−ω=a(z−ω).
moyen
Ex 03 — Composée
f(z)=2iz+1 et g(z)=−z+3. Calculer f∘g et g∘f. Identifier le type de chaque composée.
moyen
Ex 04 — Similitude envoyant A→A', B→B'
A(affixe 0), B(affixe 1), A'(affixe i), B'(affixe 1+i). Trouver la similitude directe envoyant A sur A' et B sur B'.
difficile
Ex 05 — Similitudes et triangle équilatéral
Montrer que si f est une similitude directe de rapport 1 et d'angle 2π/3, alors le triangle (M, f(M), f²(M)) est équilatéral.
difficile
Ex 06 — Similitude indirecte
f(z)=(1+i)z̄+2. 1) Montrer que f est une similitude indirecte. 2) Trouver son rapport. 3) Déterminer l'axe de symétrie associé.
bac
Ex 07 — Exercice type Bac
f(z)=(√3+i)z−2i. 1) Identifier la similitude (rapport, angle). 2) Trouver le point fixe Ω. 3) Écrire f sous la forme z'−ω=a(z−ω). 4) Montrer que f³ est une homothétie et déterminer son rapport.