Continuité et Limites

Limites finies et infinies, prolongement par continuité, théorèmes fondamentaux (TVI, point fixe), asymptotes.

📝 30 exercices·📋 Bac 2015–2024·⏱ ~6h

📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions

Programme CNP Tunisie · 4ème année secondaire Section Mathématiques

T1DéfinitionDéfinition — Limite finie en un point

Soit f définie sur un voisinage de a (sauf peut-être en a). On dit que lim(x→a) f(x) = ℓ si : ∀ε>0, ∃δ>0, 0<|x−a|<δ ⟹ |f(x)−ℓ|<ε.

T2ThéorèmeUnicité de la limite

Si f admet une limite en a, elle est unique.

T3ThéorèmeOpérations sur les limites

Si lim f = ℓ et lim g = m (ℓ,m ∈ ℝ), alors : lim(f+g)=ℓ+m, lim(f·g)=ℓ·m, lim(f/g)=ℓ/m si m≠0.

T4ThéorèmeThéorème des gendarmes (Sandwich)

Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) au voisinage de a, et lim g = lim h = ℓ, alors lim f = ℓ.

T5Formule cléLimites usuelles fondamentales

lim(x→0) sin(x)/x = 1 | lim(x→0) (1−cos x)/x² = 1/2 | lim(x→0) (eˣ−1)/x = 1 | lim(x→0) ln(1+x)/x = 1 | lim(x→±∞)(1+1/x)ˣ = e

T6Formule cléCroissances comparées

Pour tout entier n≥1 et α>0 : lim(x→+∞) (ln x)/xᵅ = 0 | lim(x→+∞) xⁿ/eˣ = 0 | lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞

T7DéfinitionDéfinition — Continuité en un point

f est continue en a ⟺ lim(x→a) f(x) = f(a). En particulier, f(a) doit être définie.

T8PropriétéContinuité sur un intervalle

f est continue sur I si elle est continue en tout point de I. Toute fonction polynomiale, rationnelle (hors zéros du dénominateur), trigonométrique, exponentielle, logarithmique est continue sur son domaine.

T9ThéorèmeThéorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur [a,b] et k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.

T10CorollaireCorollaire du TVI — Existence de zéro

Si f est continue sur [a,b] et f(a)·f(b) < 0, alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0.

T11CorollaireTVI — Version stricte (Unicité)

Si de plus f est strictement monotone sur [a,b], alors ce c est unique.

T12ThéorèmeThéorème du point fixe

Si f est continue sur [a,b] et f([a,b]) ⊂ [a,b], alors f admet au moins un point fixe : ∃c ∈ [a,b], f(c) = c.

T13DéfinitionProlongement par continuité

Si lim(x→a) f(x) = ℓ et f n'est pas définie en a, on peut définir g par g(x)=f(x) si x≠a et g(a)=ℓ. g est continue en a.

T14DéfinitionAsymptote horizontale

La droite y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞ (ou −∞) si lim(x→+∞) f(x) = ℓ (resp. lim(x→−∞) f(x) = ℓ).

T15DéfinitionAsymptote verticale

La droite x = a est asymptote verticale à la courbe de f si lim(x→a⁺) f(x) = ±∞ ou lim(x→a⁻) f(x) = ±∞.

T16DéfinitionAsymptote oblique

La droite y = ax+b est asymptote oblique à la courbe de f en +∞ si lim(x→+∞) [f(x) − (ax+b)] = 0. On calcule : a = lim f(x)/x, puis b = lim [f(x)−ax].