Tome I · CH 05Analyse
Primitives et Intégrales
Primitives des fonctions usuelles, intégrale de Riemann, propriétés, calcul d'aires, intégration par parties, changement de variable.
📝 35 exercices·⏱ ~7h
📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions
Programme CNP Tunisie · 4ème année Section Mathématiques
T1DéfinitionPrimitive
F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F'(x)=f(x) pour tout x∈I. Si F est une primitive de f, toutes les primitives sont de la forme F(x)+C (C∈ℝ).
T2Formule cléPrimitives usuelles
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1) | ∫1/x dx=ln|x|+C | ∫eˣdx=eˣ+C | ∫sin x dx=−cos x+C | ∫cos x dx=sin x+C | ∫1/(1+x²)dx=arctan x+C | ∫1/√(1−x²)dx=arcsin x+C
T3Formule cléPrimitives composées
∫u'·uⁿdu=uⁿ⁺¹/(n+1)+C | ∫u'/u du=ln|u|+C | ∫u'·eᵘdu=eᵘ+C | ∫u'·sin(u)du=−cos(u)+C | ∫u'/(1+u²)du=arctan(u)+C
T4DéfinitionIntégrale de Riemann
Si f est continue sur [a,b], l'intégrale de a à b de f est : ∫ₐᵇ f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b)−F(a), où F est une primitive quelconque de f.
T5PropriétéLinéarité de l'intégrale
∫ₐᵇ (f+g)dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫ₐᵇ g dx | ∫ₐᵇ λf dx = λ∫ₐᵇ f dx | ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫ᶜᵇ f dx (relation de Chasles)
T6PropriétéPositivité et croissance
Si f≥0 sur [a,b] alors ∫ₐᵇ f dx ≥ 0. Si f≤g sur [a,b] alors ∫ₐᵇ f dx ≤ ∫ₐᵇ g dx.
T7ThéorèmeInégalité de la moyenne
Si m ≤ f(x) ≤ M sur [a,b], alors : m(b−a) ≤ ∫ₐᵇ f(x)dx ≤ M(b−a).
T8ThéorèmeThéorème fondamental du calcul intégral
Si f est continue sur [a,b], la fonction G définie par G(x)=∫ₐˣ f(t)dt est l'unique primitive de f s'annulant en a : G'(x)=f(x).
T9ThéorèmeIntégration par parties (IPP)
∫ₐᵇ u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v'(x)dx. Choix : u' facile à intégrer, v facile à dériver.
T10ThéorèmeChangement de variable
Si x=φ(t) avec φ dérivable et bijective de [α,β] sur [a,b] : ∫ₐᵇ f(x)dx = ∫_α^β f(φ(t))·φ'(t)dt.
T11PropriétéIntégrales des fonctions paires/impaires
Si f est paire : ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx. Si f est impaire : ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0.
T12Formule cléCalcul d'aires
Aire entre deux courbes f et g sur [a,b] (f≥g) : A = ∫ₐᵇ (f(x)−g(x))dx. Unité : 1 u.a. = |Ol⃗|·|Oj⃗| unités de surface.
T13Formule cléValeur moyenne
La valeur moyenne de f sur [a,b] est : m = (1/(b−a))·∫ₐᵇ f(x)dx.
📝 Exercices
facile
Ex 01 — Calcul de primitives usuelles
Calculer : ∫(3x²+2x−1)dx, ∫eˣdx, ∫cos(x)dx.
difficile
Ex 06 — IPP itérée
Calculer Iₙ = ∫₀¹ xⁿeˣ dx. Trouver une relation entre Iₙ et Iₙ₋₁.
difficile
Ex 07 — Changement de variable
Calculer ∫₀¹ x/√(1+x²) dx par changement de variable u=1+x².
moyen
Ex 08 — Aire entre deux courbes
Calculer l'aire entre f(x)=x² et g(x)=x sur [0,1].
bac
Ex 10 — Exercice type Bac
Soit f(x)=x·ln(x) sur ]0,+∞[. 1) Calculer f'(x). 2) Calculer ∫₁ᵉ x·ln(x)dx par IPP. 3) Calculer l'aire délimitée par la courbe de f, l'axe des abscisses et la droite x=e.