Tome I · CH 03Analyse
Dérivabilité
Dérivabilité en un point, dérivées des fonctions usuelles, règles de dérivation, théorèmes de Rolle et des accroissements finis, applications à l'étude de fonctions.
📝 32 exercices·📋 Bac 2015–2024·⏱ ~6h
📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions
Programme CNP Tunisie · 4ème année secondaire Section Mathématiques
T1DéfinitionDérivabilité en un point
f est dérivable en a si lim(x→a) [f(x)−f(a)]/(x−a) existe et est finie. Cette limite est notée f'(a).
T2DéfinitionNombre dérivé — interprétation géométrique
f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A(a, f(a)). Équation de la tangente : y = f'(a)(x−a) + f(a).
T3PropriétéDérivabilité ⟹ Continuité
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse (ex : f(x)=|x| en 0).
T4Formule cléDérivées des fonctions usuelles
(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ | (√x)'=1/(2√x) | (eˣ)'=eˣ | (ln x)'=1/x | (sin x)'=cos x | (cos x)'=−sin x | (tan x)'=1/cos²x | (constante)'=0
T5Formule cléRègles de dérivation
(u+v)'=u'+v' | (ku)'=ku' | (uv)'=u'v+uv' | (u/v)'=(u'v−uv')/v² | (uⁿ)'=n·u'·uⁿ⁻¹ | (√u)'=u'/(2√u) | (eᵘ)'=u'eᵘ | (ln u)'=u'/u
T6Formule cléDérivée de la composée
Si h(x)=f(g(x)), alors h'(x)=f'(g(x))·g'(x). Cas particuliers : (f(ax+b))'=a·f'(ax+b).
T7ThéorèmeThéorème de Rolle
Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f'(c)=0.
T8ThéorèmeThéorème des Accroissements Finis (TAF)
Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que : f(b)−f(a) = f'(c)·(b−a).
T9CorollaireInégalité des accroissements finis
Si |f'(x)| ≤ M sur ]a,b[, alors |f(b)−f(a)| ≤ M·|b−a|.
T10ThéorèmeLien dérivée — monotonie
f dérivable sur I. f est croissante sur I ⟺ f'≥0 sur I (avec égalité seulement en des points isolés). f est constante ⟺ f'=0 sur I.
T11ThéorèmeExtremum local — condition nécessaire
Si f est dérivable en a et admet un extremum local en a, alors f'(a)=0.
T12ThéorèmeRègle de L'Hôpital
Si lim f(x) = lim g(x) = 0 (ou ±∞) et g'(x) ≠ 0 au voisinage de a, alors : lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) (si cette dernière limite existe).
T13DéfinitionDérivée seconde et convexité
f est convexe sur I si f''≥0 sur I (courbe au-dessus de ses tangentes). f est concave si f''≤0. Un point d'inflexion est un point où f'' change de signe.
📝 Exercices
facile
Ex 01 — Calcul de nombre dérivé
Calculer f'(2) pour f(x)=x³−3x+1 en utilisant la définition.
facile
Ex 02 — Équation de tangente
f(x)=eˣ. Écrire l'équation de la tangente en x=0.
moyen
Ex 04 — Règle de dérivation (quotient)
Dériver f(x) = (2x+1)/(x−1) sur son domaine.
difficile
Ex 06 — Étude complète — tableau de variation
f(x) = x·eˣ. Calculer f'. Dresser le tableau de variation. Trouver l'extremum.
difficile
Ex 07 — Théorème de Rolle
Appliquer le théorème de Rolle à f(x)=x³−3x sur [−1,1] et trouver c.
difficile
Ex 08 — TAF — inégalité
Montrer que pour tout x>0 : x/(1+x) < ln(1+x) < x. (Utiliser TAF sur f=ln).
moyen
Ex 09 — Convexité et inflexion
f(x) = x³−6x²+9x. Trouver les points d'inflexion et étudier la convexité.
bac
Ex 10 — Exercice type Bac
f(x) = (x−1)eˣ. 1) Calculer f'(x) et f''(x). 2) Étudier les variations. 3) Étudier la convexité. 4) Tracer la courbe représentative.
Progression
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