Tome II · CH 02Géométrie
Isométries du plan
Transformations du plan conservant les distances : symétries, translations, rotations. Classification des isométries directes et indirectes.
📝 28 exercices·⏱ ~6h
📐 Cours officiel — Théorèmes & Définitions
Programme CNP Tunisie · 4ème année Section Mathématiques
T1DéfinitionIsométrie (ou déplacement au sens large)
Une application f du plan dans lui-même est une isométrie si elle conserve les distances : pour tout couple de points (M,N), |f(M)f(N)| = |MN|. Toute isométrie est une bijection.
T2DéfinitionIsométrie directe / indirecte
Une isométrie est directe si elle conserve l'orientation des figures (angles orientés). Elle est indirecte si elle renverse l'orientation. Les isométries directes forment un groupe.
T3ThéorèmeClassification des isométries directes
Toute isométrie directe du plan est soit une translation, soit une rotation. Critère : f est une rotation s'il existe un point invariant (centre) ; sinon, c'est une translation.
T4ThéorèmeClassification des isométries indirectes
Toute isométrie indirecte du plan est soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissée (composée d'une symétrie axiale et d'une translation de vecteur parallèle à l'axe).
T5DéfinitionTranslation
La translation de vecteur v⃗ associe à tout point M le point M' tel que MM'⃗=v⃗. En complexes (v=b) : z'=z+b. Composée de deux translations de vecteurs v⃗₁ et v⃗₂ : translation de vecteur v⃗₁+v⃗₂.
T6DéfinitionRotation
La rotation de centre Ω (affixe ω), angle θ associe à M (affixe z) le point M' tel que : z'−ω = e^(iθ)(z−ω). Propriétés : Ω est l'unique point fixe (si θ≠0[2π]).
T7ThéorèmeComposée de deux rotations
Composée de deux rotations de centres Ω₁, Ω₂ et d'angles θ₁, θ₂ : si θ₁+θ₂ ≠ 0[2π], c'est une rotation d'angle θ₁+θ₂. Si θ₁+θ₂ = 0[2π], c'est une translation.
T8DéfinitionSymétrie axiale
La symétrie d'axe (Δ) associe à tout point M son symétrique M' par rapport à (Δ) : le milieu de MM' est sur (Δ) et MM'⊥(Δ). C'est une isométrie indirecte.
T9ThéorèmeComposée de deux symétries axiales
Si les axes sont parallèles (distance d) : translation de vecteur perpendiculaire aux axes, de longueur 2d. Si les axes se coupent en Ω avec angle θ : rotation de centre Ω et d'angle 2θ.
T10PropriétéPoints fixes et droites invariantes
Translation (v⃗≠0⃗) : aucun point fixe, toute droite parallèle à v⃗ est invariante. Rotation (θ≠0) : un seul point fixe (le centre). Symétrie axiale : les points de l'axe sont fixes, l'axe est invariant.
📝 Exercices
facile
Ex 01 — Translation — image d'un triangle
Déterminer l'image du triangle A(1,2), B(3,1), C(2,4) par la translation de vecteur v⃗(2,−1).
moyen
Ex 02 — Rotation de π/2
Déterminer l'image de M(3,1) par la rotation de centre O(0,0) et d'angle π/2 (en utilisant les complexes).
moyen
Ex 03 — Composition rotations
Composer les rotations : R(O,π/3) ∘ R(A,π/6) où A a pour affixe 1.
moyen
Ex 04 — Symétrie axiale
Déterminer l'image du point M(2,3) par la symétrie d'axe y=x.
difficile
Ex 05 — Composée symétries
Δ₁ : y=0 et Δ₂ : y=2. Déterminer la composée σ_Δ₂ ∘ σ_Δ₁ et identifier la transformation.
bac
Ex 06 — Exercice type Bac
f est la composée de la rotation R(A, π/2) et de la symétrie d'axe (AB). 1) Identifier le type de f. 2) Déterminer ses éléments caractéristiques. 3) Trouver les points invariants.