Calcul matriciel

Matrices carrées ordre 2 et 3, addition, multiplication, matrice identité, matrice inverse (ordre 2), puissances Mⁿ, systèmes linéaires, transformations géométriques.

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▦ Opérations matricielles

Matrices et opérations

Définition

A=(aᵢⱼ) taille m×n PRODUIT AB (m×n)×(n×p)=(m×p) : (AB)ᵢⱼ=Σₖ aᵢₖbₖⱼ ⚠ AB≠BA en général (AB)ᵀ=BᵀAᵀ (AB)ⁿ ≠ AⁿBⁿ (sauf si AB=BA) MATRICE IDENTITÉ Iₙ : diagonale=1, reste=0 AIₙ=IₙA=A

Déterminant et inverse

Formule clé

Ordre 2 : A=[[a,b],[c,d]] det(A)=ad−bc A⁻¹=(1/det(A))·[[d,−b],[−c,a]] (si det(A)≠0) Ordre 3 (Sarrus) : det([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]) =aei+bfg+cdh−ceg−afh−bdi PROPRIÉTÉS : det(AB)=det(A)·det(B) A inversible ↔ det(A)≠0 Système AX=B : X=A⁻¹B si det(A)≠0

⚡ Méthode de Gauss-Jordan pour l'inverse : [A|I] → opérations élémentaires → [I|A⁻¹].

Exercices

EX-MA1FacileInverse d'ordre 2

Calculer l'inverse de A=[[3,2],[5,4]].

🧮 Résoudre avec IA

EX-MA2IntermédiaireProduit matriciel

A=[[1,2],[3,4]], B=[[5,1],[0,2]]. Calculer AB et BA.

Calcul matriciel

7.1 Opérations et matrice inverse

7.2 Puissances de matrices et diagonalisation