Calcul matriciel

📂 Section C — Graphes & Matrices

Matrices carrées, addition, multiplication, matrice identité, inverse (ordre 2), puissances Mⁿ.

📊 3 théorèmes·📝 2 exercices·⏱ ~4h

Légende :ThéorèmeDéfinitionFormule cléPropriétéMéthode

📐 Cours — Définitions & Théorèmes

Opérations matricielles

Définition

Matrices de même dimension : addition terme à terme. Multiplication A×B (A est m×p, B est p×n → résultat m×n) : (AB)[i][j] = Σₖ A[i][k]×B[k][j] ATTENTION : AB ≠ BA en général (non commutatif) ! Matrice identité Iₙ : carrée, 1 sur la diagonale, 0 ailleurs. AI = IA = A.

Matrice inverse (ordre 2)

Formule clé

Pour A = [[a,b],[c,d]], le déterminant est det(A) = ad − bc. Si det(A) ≠ 0, A est inversible et : A⁻¹ = (1/det(A)) × [[d,−b],[−c,a]] Vérification : A×A⁻¹ = A⁻¹×A = I₂. Si det(A) = 0 : A n'est pas inversible (matrice singulière).

Puissances de matrices et applications

Propriété

Mⁿ = M × M × … × M (n fois) Applications : • Suites vectorielles : si Vₙ₊₁ = M×Vₙ alors Vₙ = Mⁿ×V₀ • Transformations géométriques : Rotation d'angle θ : [[cosθ, −sinθ],[sinθ, cosθ]] Homothétie de rapport k : k×I₂

📝 Exercices

EX01FacileMultiplication

Calculer A×B avec A=[[1,2],[3,4]] et B=[[5,6],[7,8]].

🧮 Résoudre avec IA

EX02FacileInverse

Trouver A⁻¹ pour A=[[3,1],[5,2]].