Expertes · CH 05Complexes
Équations polynomiales dans ℂ
📂 Section B — Complexes
Second degré dans ℂ, factorisation zⁿ−aⁿ, théorème fondamental, relations coefficients-racines.
📊 3 théorèmes·📝 2 exercices·⏱ ~4h
Légende :ThéorèmeDéfinitionFormule cléPropriétéMéthode
📐 Cours — Définitions & Théorèmes
Second degré dans ℂ (Δ < 0)
ThéorèmeL'équation az²+bz+c=0 (Δ=b²−4ac < 0) admet deux racines complexes conjuguées dans ℂ :
z₁ = (−b + i√|Δ|)/(2a) et z₂ = z̄₁ = (−b − i√|Δ|)/(2a)
Factorisation : az²+bz+c = a(z−z₁)(z−z₂).
Relations de Viète (coefficients-racines)
Formule cléPour az²+bz+c=0 de racines z₁, z₂ :
z₁ + z₂ = −b/a (somme des racines)
z₁ × z₂ = c/a (produit des racines)
Utilisation : si on connaît une racine z₁, calculer z₂ sans résoudre l'équation.
Théorème fondamental de l'algèbre (admis)
ThéorèmeTout polynôme de degré n à coefficients complexes admet exactement n racines dans ℂ (comptées avec multiplicité).
Conséquence : si P est de degré n et admet z₁,…,zₙ comme racines, alors :
P(z) = a(z−z₁)(z−z₂)…(z−zₙ)
Factorisation par (z−a) : si P(a)=0 alors (z−a)|P(z).