Second degré dans ℂ
Théorèmeaz²+bz+c=0 (a,b,c∈ℂ, a≠0) :
Discriminant Δ=b²−4ac∈ℂ
Si Δ=0 : z₀=−b/(2a) (racine double)
Si Δ≠0 : z₁=(−b+√Δ)/(2a) ; z₂=(−b−√Δ)/(2a)
CAS RÉELS (a,b,c∈ℝ) et Δ<0 :
Δ=−|Δ| → √Δ=i√|Δ|
z₁=(−b+i√|Δ|)/(2a) ; z₂=(−b−i√|Δ|)/(2a)=z̄₁
(racines complexes conjuguées)
Relations coefficients-racines :
z₁+z₂=−b/a ; z₁z₂=c/a
Factorisations polynomiales
Formule clézⁿ−aⁿ = (z−a)(zⁿ⁻¹+azⁿ⁻²+a²zⁿ⁻³+…+aⁿ⁻¹)
Cas particulier :
z²−a²=(z−a)(z+a)
z³−a³=(z−a)(z²+az+a²)
z³+a³=(z+a)(z²−az+a²)
THÉORÈME (admis) :
Tout polynôme de degré n≥1 à coeff. complexes admet exactement n racines complexes (comptées avec multiplicité).
→ P(z)=a(z−z₁)(z−z₂)…(z−zₙ)
⚡ A contrario, un polynôme de degré n à coeff. réels a ses racines complexes en paires conjuguées.