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Chaînes de Markov

Matrice de transition M, évolution Pₙ₊₁=Pₙ×M, calcul Pₙ=P₀×Mⁿ, état stable π=π×M, convergence vers l'état stationnaire.

🔄 Chaîne de Markov et matrice de transition
Chaîne de Markov
Définition
Suite (Xₙ) de variables aléatoires à valeurs dans {e₁,…,eₙ} PROPRIÉTÉ DE MARKOV : P(Xₙ₊₁=j|Xₙ=i,Xₙ₋₁,…,X₀)=P(Xₙ₊₁=j|Xₙ=i) → L'état futur ne dépend que de l'état présent MATRICE DE TRANSITION T=(tᵢⱼ) : tᵢⱼ=P(Xₙ₊₁=eⱼ|Xₙ=eᵢ) Chaque ligne somme à 1 : Σⱼ tᵢⱼ=1 (matrice stochastique) ÉVOLUTION : Pₙ vecteur ligne de distribution à l'étape n Pₙ₊₁=Pₙ·T ; Pₙ=P₀·Tⁿ
Loi d'évolution
Formule clé
P₀ : distribution initiale (vecteur ligne) Pₙ = P₀·Tⁿ Calcul de P₁, P₂, … par multiplication répétée : P₁=P₀·T ; P₂=P₁·T ; … État stable π (distribution stationnaire) : π·T=π ET Σᵢ πᵢ=1 → Résoudre le système (enlever une équation redondante) → Ajouter Σπᵢ=1 CONVERGENCE : Si T est régulière (Tᵏ à entrées >0 pour un k) : Pₙ → π quelle que soit la distribution initiale P₀
⚡ L'état stationnaire est le vecteur propre gauche de T pour la valeur propre 1.
Exercices
EX-MK1FacileÉvolution d'une chaîne

T=[[0,8;0,2],[0,3;0,7]], P₀=[0,6;0,4]. Calculer P₁ et P₂.

🧮 Résoudre avec IA
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Calcul matriciel