Option Mathématiques Expertes
Programme officiel · 3 sections · 8 chapitres. Pour les élèves conservant la spécialité Maths en Terminale et souhaitant approfondir en Arithmétique, Complexes et Matrices.
Arithmétique
Divisibilité dans ℤ
Multiples et diviseurs dans ℤ, division euclidienne (unicité), congruences (addition, multiplication), critères de divisibilité, calculs modulaires.
PGCD & Théorèmes fondamentaux
PGCD par algorithme d'Euclide, théorème de Bézout (au+bv=PGCD), théorème de Gauss, équations diophantiennes ax+by=c.
Nombres premiers
Définition, crible d'Ératosthène, décomposition en facteurs premiers (unicité), petit théorème de Fermat aᵖ⁻¹≡1[p].
Complexes (approfondissement)
Formes trig. & exponentielles
Module, argument, forme trigonométrique z=r(cosθ+isinθ), forme exponentielle reⁱᶿ, formule d'Euler, De Moivre, racines n-ièmes de l'unité.
Équations polynomiales dans ℂ
Second degré dans ℂ (Δ<0), factorisation zⁿ−aⁿ, théorème fondamental de l'algèbre (admis), factorisation par (z−a), relations coefficients-racines.
Graphes & Matrices
Théorie des graphes
Vocabulaire (sommets, arêtes, degrés), graphes orientés/non orientés, chaînes eulériennes, matrice d'adjacence, graphes probabilistes.
Calcul matriciel
Matrices carrées ordre 2 et 3, addition, multiplication, matrice identité, matrice inverse (ordre 2), puissances Mⁿ, transformations géométriques.
Chaînes de Markov
Matrice de transition, évolution Pₙ₊₁=Pₙ×M, calcul Pₙ=P₀×Mⁿ, état stable π=π×M, convergence vers l'état stationnaire.