Formes trig. & exponentielles

Formule d'Euler : eⁱᶿ = cosθ + i sinθ Déduction : cosθ = (eⁱᶿ + e⁻ⁱᶿ)/2 sinθ = (eⁱᶿ − e⁻ⁱᶿ)/(2i) Forme exponentielle : z = r·eⁱᶿ (r=|z|, θ=arg z) Produit : z₁z₂ = r₁r₂·eⁱ⁽ᶿ¹⁺ᶿ²⁾ Quotient : z₁/z₂ = (r₁/r₂)·eⁱ⁽ᶿ¹⁻ᶿ²⁾

(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) pour tout n ∈ ℤ Application — linéarisation : cos²θ = (1 + cos2θ)/2 sin²θ = (1 − cos2θ)/2 cos³θ = (3cosθ + cos3θ)/4 (utiliser (eⁱᶿ+e⁻ⁱᶿ)ⁿ pour la formule générale)

Les n racines n-ièmes de l'unité (solutions de zⁿ=1) : ωₖ = eⁱ²ᵏᵖⁱ/ⁿ pour k=0,1,…,n−1 Propriétés : • Forme un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité • Somme de toutes les racines = 0 (si n ≥ 2) • Produit de toutes les racines = (−1)ⁿ⁺¹ Racines cubiques : 1, j = e^(2iπ/3), j̄ = e^(4iπ/3) avec 1+j+j̄=0 et j³=1.