Complexes : formes & exponentielles

Module, argument, forme trigonométrique z=r(cosθ+isinθ), forme exponentielle reⁱᶿ, formule d'Euler, De Moivre, racines n-ièmes de l'unité.

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eⁱᶿ Forme exponentielle et Euler

Module, argument et formes

Définition

z=a+ib (forme algébrique) |z|=√(a²+b²) ; arg(z)=θ tel que cosθ=a/|z|, sinθ=b/|z| Forme trig. : z=|z|(cosθ+isinθ) Forme expo. : z=|z|·eⁱᶿ FORMULE D'EULER : eⁱᶿ=cosθ+isinθ Conséquences : cosθ=(eⁱᶿ+e⁻ⁱᶿ)/2 sinθ=(eⁱᶿ−e⁻ⁱᶿ)/(2i) eⁱᵖ=−1 ; eⁱᵖ/²=i ; eⁱ²ᵖ=1

Produit et quotient en forme exponentielle

Formule clé

z₁=r₁eⁱᶿ¹, z₂=r₂eⁱᶿ² z₁z₂ = r₁r₂ · eⁱ⁽ᶿ¹⁺ᶿ²⁾ z₁/z₂ = (r₁/r₂) · eⁱ⁽ᶿ¹⁻ᶿ²⁾ z̄ = r·e⁻ⁱᶿ zⁿ = rⁿ·eⁱⁿᶿ (formule de De Moivre pour r=1)

⚡ La forme exponentielle transforme les multiplications en additions d'arguments : c'est sa grande puissance.

Exercices

EX-CF1FacileForme exponentielle

Écrire z=1−i et w=√3+i en forme exponentielle, puis calculer z·w.

Complexes : formes & exponentielles

4.1 Formes trigonométrique et exponentielle

4.2 Formule de De Moivre et racines