Divisibilité dans ℤ

b divise a (noté b|a) s'il existe k ∈ ℤ tel que a = k·b. Propriétés : b|a et b|c ⟹ b|(a+c) et b|(a−c) et b|(λa) pour tout λ ∈ ℤ. Tout entier divise 0. 1 divise tout entier. Si b|a et a|b alors a=±b.

Pour tout a ∈ ℤ et tout b ∈ ℤ* (b ≠ 0), il existe un UNIQUE couple (q, r) ∈ ℤ² tel que : a = bq + r avec 0 ≤ r < |b| q est le quotient euclidien, r est le reste euclidien. b|a ⟺ r = 0.

a ≡ b [n] (a congru à b modulo n) si n|(a−b), i.e. a et b ont le même reste dans la division par n. Propriétés (si a≡b[n] et c≡d[n]) : a+c ≡ b+d [n] a−c ≡ b−d [n] a×c ≡ b×d [n] aᵏ ≡ bᵏ [n] pour tout k ∈ ℕ

Un entier est divisible par : • 2 si dernier chiffre pair (≡ 0 [2]) • 3 si somme des chiffres ≡ 0 [3] • 9 si somme des chiffres ≡ 0 [9] • 7, 11 : règles spécifiques Exemple : 2026 ≡ 2+0+2+6 = 10 ≡ 1 [9] → non divisible par 9.