Divisibilité dans ℤ

b divise a (noté b|a) : ∃k∈ℤ, a=k·b PROPRIÉTÉS : b|a et b|c ⟹ b|(a+c), b|(a−c), b|(λa) ∀λ∈ℤ b|a et a|b ⟹ a=±b Tout entier divise 0 ; 1 divise tout entier Exemples : 6|42 car 42=7×6 ✓ 7∤43 car 43=7×6+1 et r≠0

Pour tout a∈ℤ et b∈ℤ* (b≠0), il existe un UNIQUE couple (q,r)∈ℤ² tel que : a = bq + r avec 0≤r<|b| q : quotient euclidien ; r : reste euclidien b|a ↔ r=0 Exemple : −17 = 5×(−4)+3 : q=−4, r=3 (car |5|=5 et 0≤3<5 ✓)

⚡ L'unicité est importante : il n'y a qu'une façon de diviser avec 0≤r<|b|.