f' Dérivabilité & étude de fonctions

f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h  si cette limite existe.
Interprétation géométrique : pente de la tangente à la courbe en a.

• (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
• (eˣ)' = eˣ
• (ln x)' = 1/x  (x>0)
• (sin x)' = cos x
• (cos x)' = −sin x
• (arctan x)' = 1/(1+x²)
• (arcsin x)' = 1/√(1−x²)
• (√x)' = 1/(2√x)

(u+v)' = u'+v'            (ku)' = ku'
(uv)' = u'v + uv'          (u/v)' = (u'v−uv')/v²
(uⁿ)' = n·u^(n−1)·u'      (eᵘ)' = u'·eᵘ
(ln u)' = u'/u             (f∘g)' = (f'∘g)·g'

f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a) = f(b)
⟹ ∃ c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = 0.

f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
⟹ ∃ c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a).

• f' > 0 sur I ⟺ f strictement croissante sur I
• f' < 0 sur I ⟺ f strictement décroissante sur I
• f' = 0 sur I ⟺ f constante sur I

Si f'(a) = 0 et f' change de signe en a :
• f' : + puis − → maximum local en a
• f' : − puis + → minimum local en a

f'' ≥ 0 sur I ⟺ f convexe (courbe au-dessus de ses tangentes).
f'' ≤ 0 sur I ⟺ f concave.
Point d'inflexion en c : f'' change de signe en c.