Nombres Complexes

Forme algébrique, conjugué, module, opérations, équations du second degré dans ℂ, forme trigonométrique et exponentielle, argument, formule de Moivre, interprétation géométrique.

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📐 Forme algébrique

Nombre complexe — forme algébrique

Définition

z = a+ib (a,b∈ℝ, i²=−1) Re(z)=a, Im(z)=b z réel ⟺ Im(z)=0 ; z imaginaire pur ⟺ Re(z)=0 CONJUGUÉ : z̄=a−ib z+z̄=2Re(z) ; z·z̄=a²+b²=|z|² z₁+z₂=z̄₁+z̄₂ ; z₁z₂=z̄₁·z̄₂ MODULE : |z|=√(a²+b²) |z₁z₂|=|z₁||z₂| ; |z₁/z₂|=|z₁|/|z₂| DIVISION : z₁/z₂ = z₁·z̄₂ / |z₂|²

Équation du second degré dans ℂ

Théorème

az²+bz+c=0 (a,b,c réels, a≠0), Δ=b²−4ac : • Δ>0 : deux racines réelles z=(−b±√Δ)/(2a) • Δ=0 : racine double z=−b/(2a) • Δ<0 : deux racines complexes conjuguées z=(−b ± i√(−Δ))/(2a) Somme/produit : z₁+z₂=−b/a , z₁·z₂=c/a.

⚡ Quand Δ<0, écrire Δ=(i√(−Δ))² pour obtenir √Δ=i√(−Δ).

Exercices

EX-CX1FacileQuotient sous forme algébrique

Écrire z=(2+i)/(1−i) sous forme algébrique.

🧮 Résoudre avec IA

EX-CX2IntermédiaireÉquation dans ℂ

Résoudre z²+2z+5=0 dans ℂ.

🧮 Résoudre avec IA

EX-CX3DifficileModule et inverse

z=3−4i. Calculer |z|, z·z̄ et 1/z.

Nombres Complexes

10.1 Forme algébrique et équations

10.2 Forme trigonométrique, Moivre et géométrie