ℂ Nombres complexes

z = a + ib  avec a,b ∈ ℝ et i² = −1
• Partie réelle : Re(z) = a
• Partie imaginaire : Im(z) = b
• Conjugué : z̄ = a − ib
• Module : |z| = √(a²+b²)
• z·z̄ = |z|²  ;  Re(z) = (z+z̄)/2  ;  Im(z) = (z−z̄)/(2i)

z = r(cosθ + i sinθ)  avec r = |z| ≥ 0 et θ = arg(z) ∈ [−π,π[

Règle des arguments :
• arg(z₁z₂) ≡ arg(z₁) + arg(z₂)  [2π]
• arg(z₁/z₂) ≡ arg(z₁) − arg(z₂)  [2π]

eⁱθ = cosθ + i sinθ  pour tout θ ∈ ℝ

Conséquences :
• cosθ = (eⁱθ + e⁻ⁱθ)/2
• sinθ = (eⁱθ − e⁻ⁱθ)/(2i)
• |eⁱθ| = 1
• eⁱπ + 1 = 0  (identité d'Euler)

(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
ou : (eⁱθ)ⁿ = eⁱⁿθ

Les n racines n-ièmes de ρeⁱφ sont :
zₖ = ρ^(1/n)·eⁱ⁽φ⁺²ᵏπ⁾/ⁿ,  k = 0, 1, …, n−1

Geométrie : n points régulièrement espacés sur le cercle de rayon ρ^(1/n).

Soit M d'affixe z et M' d'affixe z'.

Translation de vecteur w̄ : z' = z + w
Homothétie (centre ω, rapport k ∈ ℝ) : z'−ω = k(z−ω)
Rotation (centre ω, angle θ) : z'−ω = eⁱθ(z−ω)
Similitude directe : z' = az + b  (a∈ℂ*, b∈ℂ)

|z_B − z_A| = AB (distance)
Milieu de [AB] : affixe = (z_A+z_B)/2

A, B, C alignés ⟺ (z_C−z_A)/(z_B−z_A) ∈ ℝ
AB ⊥ AC ⟺ arg((z_C−z_A)/(z_B−z_A)) ≡ ±π/2  [2π]