P() Probabilités sur un ensemble fini

Probabilité conditionnelle, indépendance, probabilités totales, Bayes, variable aléatoire, loi binomiale.

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I. Probabilité conditionnelle et indépendance

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)  si P(B) > 0
"Probabilité de A sachant que B est réalisé."

💡 Remarque : P(A∩B) = P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A) → règle du produit.

A et B sont indépendants si :
P(A∩B) = P(A)·P(B)
ou de façon équivalente : P(A|B) = P(A).

💡 Remarque : L'indépendance est une propriété symétrique. A et B indépendants ⟺ Ā et B indépendants.

II. Probabilités totales et formule de Bayes

(B₁, …, Bₙ) partition de Ω (événements 2 à 2 incompatibles, union = Ω) :
P(A) = Σᵢ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ)

💡 Remarque : Utiliser un arbre de probabilités pour organiser les calculs.

P(Bₖ|A) = P(Bₖ)·P(A|Bₖ) / Σᵢ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ)

💡 Remarque : Permet de "remonter" dans l'arbre : on connaît P(A|Bᵢ), on cherche P(Bᵢ|A).

III. Variable aléatoire et loi binomiale

X prend les valeurs x₁,…,xₙ avec probabilités p₁,…,pₙ (Σpᵢ = 1).

Espérance : E(X) = Σxᵢpᵢ
Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]²
Écart-type : σ(X) = √V(X)

X ~ B(n,p) : nb de succès en n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité p.

P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ,  k = 0, 1, …, n
E(X) = np
V(X) = np(1−p)

💡 Remarque : C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!) Attention : C(n,0) = C(n,n) = 1.

X = rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli de paramètre p.
P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p,  k ≥ 1
E(X) = 1/p

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Sources : tadris.tn · bac-done.com