Équations Différentielles

Équations y'=ay et y'=ay+b — solution générale, solution particulière, condition initiale, et applications de modélisation (croissance/décroissance exponentielle, refroidissement, charge d'un condensateur).

🤖 Chat IA — ce chapitre 📋 Exercices Bac 🎯 Simulation Bac

📐 Résolution

Solutions de y'=ay et y'=ay+b

Théorème

ÉQUATION HOMOGÈNE y'=ay (a∈ℝ) : Solutions : y(x)=C·eᵃˣ , C∈ℝ ÉQUATION COMPLÈTE y'=ay+b (a≠0) : 1. Solution particulière constante : yₚ=−b/a 2. Solution générale : y(x)=C·eᵃˣ − b/a , C∈ℝ CONDITION INITIALE y(x₀)=y₀ : détermine C de façon unique. Cas x₀=0 : C=y₀+b/a. Théorème de Cauchy : il existe une unique solution vérifiant une condition initiale.

⚡ Si a<0, y(x) → −b/a (régime permanent / valeur d'équilibre) ; si a>0, |y(x)| → +∞.

Méthode de résolution

Méthode

1. Identifier a et b. 2. Écrire la forme générale y=Ceᵃˣ−b/a. 3. Appliquer la condition initiale → trouver C. 4. Étudier la limite / le comportement si demandé. VÉRIFIER qu'une fonction g est solution : calculer g'(x) et vérifier g'(x)=a·g(x)+b.

Exercices

EX-ED1FacileÉquation complète

Résoudre y'=3y−6 avec y(0)=4.

🧮 Résoudre avec IA

EX-ED2IntermédiaireÉquation homogène

Résoudre y'=−2y avec y(0)=5.

🧮 Résoudre avec IA

EX-ED3DifficileRégime permanent

y'=−y+5, y(0)=1. Résoudre puis donner lim(x→+∞) y(x).

Équations Différentielles

9.1 Résolution de y'=ay+b

9.2 Modélisation et applications