Primitive d'une fonction
DéfinitionF est une primitive de f sur I ⟺ F dérivable sur I et F'=f.
Théorème : toute fonction continue sur I admet des primitives sur I.
UNICITÉ à une constante près :
Si F est une primitive de f, toutes les primitives sont F(x)+C, C∈ℝ.
Une condition F(x₀)=y₀ détermine C de façon unique.
Linéarité : une primitive de a·f+b·g est a·F+b·G.
⚡ Analogie informatique : la primitive « accumule » f, comme une somme cumulée (prefix sum) accumule un tableau de valeurs.
Primitives usuelles et composées
Formule cléUSUELLES (primitive, +C) :
xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1) (n≠−1)
1/x → ln|x|
1/√x → 2√x
eˣ → eˣ
sin x → −cos x ; cos x → sin x
FORMES COMPOSÉES (u dérivable) :
u'·eᵘ → eᵘ
u'/u → ln|u|
u'·uⁿ → uⁿ⁺¹/(n+1) (n≠−1)
u'/√u → 2√u
⚡ Reconnaître la forme u'·(expression en u) : c'est l'inverse de la règle de la chaîne.