Fonction Exponentielle

Définition eˣ (réciproque de ln), propriétés, dérivée (eᵘ)'=u'eᵘ, étude complète. Application : algorithmes exponentiels, chiffrement, complexité.

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📐 Propriétés de exp

Fonction exponentielle — définition et propriétés

Définition

eˣ est la réciproque de ln : e^(ln x)=x et ln(eˣ)=x Domaine ℝ, Image ]0;+∞[ ; eˣ>0 toujours e⁰=1 ; e¹=e≈2,718 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES : e^(a+b)=eᵃ·eᵇ ; e^(a−b)=eᵃ/eᵇ (eᵃ)ⁿ=e^(na) ; e^(−a)=1/eᵃ LIEN INFORMATIQUE : Complexité O(2ⁿ) → exponentiel (problèmes NP) Cryptographie RSA : e^(ln n)=n → lien ln/exp Chiffrement de César (modélisation) : e^(iθ) en complexes Recherche exhaustive : 2ⁿ possibilités → impraticable pour n>50

⚡ Un algo de complexité O(2ⁿ) double ses opérations à chaque unité → exponentiel = problème difficile en info.

Dérivée de exp et composée

Formule clé

(eˣ)'=eˣ (eᵘ)'=u'·eᵘ Exemples : (e^(3x))'=3e^(3x) (e^(x²+1))'=2xe^(x²+1) (e^(sin x))'=cos x·e^(sin x)

Propriétés de exp

Théorème

exp STRICTEMENT CROISSANTE sur ℝ lim(x→−∞)eˣ=0 (AH y=0) lim(x→+∞)eˣ=+∞ CROISSANCES COMPARÉES : lim(x→+∞) eˣ/xⁿ=+∞ lim(x→+∞) xⁿ·e^(−x)=0

Exercices

EX-EX1FacileDérivée composée

f(x)=e^(2x²−1). f'(x).

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