Logarithme Népérien

Définition ln x pour x>0, propriétés algébriques, dérivée (ln u)'=u'/u, étude complète, fonctions du type ln(u(x)). Application : entropie, complexité logarithmique.

🤖 Chat IA — ce chapitre 📋 Exercices Bac 🎯 Simulation Bac

📐 Propriétés algébriques de ln

Définition et propriétés

Définition

ln est la primitive de 1/x sur ]0;+∞[ valant 0 en 1. ln 1=0 ; ln e=1 ; e^(ln x)=x ; ln(eˣ)=x PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES (a,b>0) : ln(ab)=ln a+ln b ln(a/b)=ln a−ln b ln(aⁿ)=n·ln a ln(1/a)=−ln a CHANGEMENT DE BASE : log_a(x)=ln x/ln a log₂(x)=ln x/ln 2 LIEN INFORMATIQUE : Complexité O(log₂ n) → nb d'itérations dichotomie log₂(1000)≈10 → 10 comparaisons pour chercher dans 1000 éléments Entropie de Shannon : H=−Σ pᵢ·log₂(pᵢ)

⚡ En informatique, log₂(n) est omniprésent : arbres binaires, tri fusion, recherche binaire.

Dérivée de ln et composée

Formule clé

(ln x)'=1/x (x>0) (ln u)'=u'/u (u>0) Exemples : (ln(x²+1))'=2x/(x²+1) (ln(2x+3))'=2/(2x+3) (ln|x|)'=1/x (x≠0)

Exercices

EX-LN1FacilePropriétés

Simplifier ln(8)−ln(4)+ln(1/2).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LN2FacileDérivée composée

f(x)=ln(x²+2x+1). f'(x).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LN3IntermédiaireComplexité logarithmique