Limites et Continuité

Limite finie/infinie en un point ou à l'infini, formes indéterminées, asymptotes, TVI, théorème de la bijection. Applications : analyse de complexité algorithmique.

🤖 Chat IA — ce chapitre 📋 Exercices Bac 🎯 Simulation Bac

∞ Limites et formes indéterminées

Limite — définition et opérations

Définition

lim(x→a) f(x)=ℓ : f(x) s'approche de ℓ quand x→a Opérations (ℓ,m finis) : lim(f+g)=ℓ+m ; lim(fg)=ℓm ; lim(f/g)=ℓ/m (m≠0) Formes indéterminées à lever : 0/0 → factoriser ou conjugué ∞/∞ → terme dominant ∞−∞ → factoriser ou conjugué Lien info : lim de O(nᵏ)/O(nᵐ) → complexité relative Si lim=0 : premier algo plus lent ; si lim=∞ : plus rapide

Limites fondamentales et croissances comparées

Formule clé

lim(x→0) sin x/x = 1 lim(x→0) (eˣ−1)/x = 1 lim(x→0) ln(1+x)/x = 1 CROISSANCES COMPARÉES (x→+∞) : eˣ ≫ xⁿ ≫ ln x (∀n>0) Complexité algorithmique : O(1) < O(log n) < O(n) < O(n log n) < O(n²) < O(2ⁿ) Analogue : 1 ≪ ln x ≪ x ≪ x² ≪ eˣ

⚡ Les croissances comparées correspondent directement à l'ordre de grandeur des complexités algorithmiques.

Exercices

EX-LC1FacileForme 0/0

lim(x→2) (x²−4)/(x−2).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LC2IntermédiaireForme ∞/∞

lim(x→+∞) (3x²+2x)/(x²−1).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LC3DifficileForme ∞−∞

lim(x→+∞) [√(x²+4x)−x].

Limites et Continuité

2.1 Calcul des limites

2.2 Asymptotes et continuité