Méthodes élémentaires et pivot de Gauss
MéthodeSUBSTITUTION : exprimer une inconnue, l'injecter dans les autres équations.
COMBINAISON : additionner des multiples de lignes pour éliminer une inconnue.
PIVOT DE GAUSS (systématique, programmable) :
1. Écrire la matrice augmentée [A | b].
2. Opérations élémentaires sur les lignes :
Lᵢ ← Lᵢ + k·Lⱼ (élimination des coefficients)
échange de lignes, multiplication par un scalaire ≠0
3. Obtenir une forme échelonnée (triangulaire).
4. Remontée (substitution ascendante).
L'algorithme de Gauss est la base de la résolution numérique en informatique.
Nature de l'ensemble des solutions
DéfinitionUn système linéaire a :
• une solution unique (système de Cramer, déterminant ≠ 0)
• aucune solution (système incompatible : ligne 0=k avec k≠0)
• une infinité de solutions (lignes proportionnelles : 0=0)
Interprétation géométrique (2 inconnues) :
• droites sécantes → 1 solution
• droites parallèles distinctes → 0 solution
• droites confondues → ∞ solutions
⚡ Le repérage de 0=0 ou 0=k≠0 lors du pivot indique directement le nombre de solutions.