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Dérivation

Nombre dérivé, dérivées usuelles et règles de calcul, tangente, signe de f'(x), tableau de variations, extrema. Lien : dérivation numérique et méthode de Newton.

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📐 Dérivées usuelles et règles

Nombre dérivé et tangente

Définition

f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)−f(a)]/h Géométrie : f'(a) = pente de la tangente en M(a,f(a)) Tangente : y=f'(a)(x−a)+f(a) Approximation affine : f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a) Dérivée numérique (informatique) : f'(a) ≈ [f(a+h)−f(a)]/h pour h petit Code Python : def deriv(f,a,h=1e-7): return (f(a+h)-f(a))/h

Dérivées usuelles

Formule clé

(c)'=0 ; (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ ; (√x)'=1/(2√x) ; (1/x)'=−1/x² (eˣ)'=eˣ ; (ln x)'=1/x (x>0) (sin x)'=cos x ; (cos x)'=−sin x ; (tan x)'=1/cos²x

Règles de dérivation

Formule clé

(u+v)'=u'+v' ; (ku)'=ku' (uv)'=u'v+uv' ; (u/v)'=(u'v−uv')/v² (f∘g)'=(f'∘g)·g' Formules chaîne : (uⁿ)'=n·u'·uⁿ⁻¹ ; (√u)'=u'/(2√u) (eᵘ)'=u'·eᵘ ; (ln u)'=u'/u

Exercices

EX-DE1FacileDérivée composée

f(x)=e^(x²+1). Calculer f'(x).

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EX-DE2IntermédiaireRègle du quotient

f(x)=(x²+1)/(2x−1). f'(x).

Dérivation

3.1 Calcul des dérivées

3.2 Variations, extrema et méthode de Newton