Σ Suites réelles

Suites arithmétiques, géométriques, monotonie, convergence, raisonnement par récurrence.

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I. Suites arithmétiques et géométriques

(uₙ) est arithmétique de raison r si uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout n.

Terme général : uₙ = u₀ + n·r
Somme des (n+1) premiers termes : Sₙ = (n+1)·(u₀+uₙ)/2

💡 Remarque : Si r > 0, la suite est croissante. Si r < 0, elle est décroissante.

(uₙ) est géométrique de raison q (q≠0) si uₙ₊₁ = q·uₙ.

Terme général : uₙ = u₀·qⁿ
Somme (q≠1) : Sₙ = u₀·(1−qⁿ⁺¹)/(1−q)

Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2
Σₖ₌₁ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6
Σₖ₌₀ⁿ qᵏ = (1−qⁿ⁺¹)/(1−q)  (q≠1)

II. Convergence et monotonie

• Toute suite croissante et majorée est convergente.
• Toute suite décroissante et minorée est convergente.

💡 Remarque : La limite est alors le supremum (resp. infimum) de la suite.

Si uₙ₊₁ = f(uₙ) converge vers ℓ et f est continue en ℓ, alors f(ℓ) = ℓ.
Méthode : résoudre f(x) = x pour trouver les candidats à la limite.

Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ pour tout n ≥ N₀ et lim vₙ = lim wₙ = ℓ,
alors lim uₙ = ℓ.

III. Raisonnement par récurrence

Pour démontrer P(n) pour tout n ≥ n₀ :
1. Initialisation : vérifier P(n₀) est vraie.
2. Hérédité : supposer P(n) vraie (H.R.), démontrer P(n+1).
Conclusion : P(n) vraie pour tout n ≥ n₀.

💡 Remarque : Toujours préciser où l'hypothèse de récurrence est utilisée dans la démonstration.

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Programme CNP officiel · 4ème Sciences Informatiques · Bac Tunisie

Sources : tadris.tn · bac-done.com