ln Fonctions logarithme et exponentielle

ln : ]0,+∞[ → ℝ, définie par ln(x) = ∫₁ˣ (1/t)dt.
ln est l'unique primitive de 1/x s'annulant en 1.

Propriétés algébriques :
• ln(ab) = ln a + ln b
• ln(a/b) = ln a − ln b
• ln(aⁿ) = n·ln a
• ln(1) = 0  ;  ln(e) = 1  ;  ln(e^a) = a

(ln x)' = 1/x sur ]0,+∞[
(ln u)' = u'/u  (si u > 0)

lim(x→0⁺) ln x = −∞
lim(x→+∞) ln x = +∞
lim(x→0) ln(1+x)/x = 1
lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0
lim(x→+∞) ln(x)/xᵅ = 0  pour α>0

exp = réciproque de ln : ℝ → ]0,+∞[
e^x = y ⟺ x = ln(y)
e⁰ = 1  ;  e¹ = e ≈ 2,718

Propriétés :
• e^(a+b) = eᵃ·eᵇ
• e^(−x) = 1/eˣ
• (eᵃ)ⁿ = e^(na)

(eˣ)' = eˣ  ;  (eᵘ)' = u'·eᵘ

eˣ > 0 pour tout x, strictement croissante
lim(x→−∞) eˣ = 0
lim(x→+∞) eˣ = +∞
lim(x→0) (eˣ−1)/x = 1

Quand x → +∞ :
• eˣ/xⁿ → +∞  (eˣ domine xⁿ)
• xⁿ/ln(x) → +∞  (xⁿ domine ln x)
Quand x → 0⁺ :
• xᵅ·|ln x| → 0  pour α>0