∞ Limite et continuité

Calcul de limites, formes indéterminées, TVI, asymptotes, prolongement par continuité.

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I. Limites de fonctions

lim(x→a) f(x) = ℓ ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0, 0<|x−a|<δ ⟹ |f(x)−ℓ|<ε.

💡 Remarque : f(a) peut ne pas être défini. La valeur en a est sans importance pour la limite.

Si lim f = ℓ et lim g = m (en a) :
• lim(f±g) = ℓ±m
• lim(f·g) = ℓ·m
• lim(f/g) = ℓ/m  (si m≠0)
• lim f(g(x)) = f(m)  (si f continue en m)

💡 Remarque : Formes indéterminées : ∞−∞, 0/0, ∞/∞, 0·∞ → lever l'indétermination.

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) au voisinage de a, lim g = lim h = ℓ ⟹ lim f = ℓ.

• lim(x→0) sin(x)/x = 1
• lim(x→0) (eˣ−1)/x = 1
• lim(x→0) ln(1+x)/x = 1
Croissances comparées (x→+∞) :
• eˣ/xⁿ → +∞  pour tout n ∈ ℕ
• ln(x)/xᵅ → 0  pour α>0
• xⁿ·e⁻ˣ → 0  pour tout n ∈ ℕ

II. Continuité

f est continue en a si :
1. f est définie en a
2. lim(x→a) f(x) = f(a)

f continue sur [a,b], f(a)·f(b) < 0
⟹ ∃c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0.

💡 Remarque : Si f est strictement monotone, c est unique. Application : existence et unicité d'une racine.

Si lim(x→a) f(x) = ℓ ∈ ℝ, on prolonge f par continuité en posant f̃(a) = ℓ.
Exemple : f(x) = sin(x)/x → f̃(0) = 1

III. Asymptotes et branches infinies

• Asymptote horizontale y = ℓ : lim(x→±∞) f(x) = ℓ
• Asymptote verticale x = a : lim(x→a) |f(x)| = +∞
• Asymptote oblique y = ax+b : lim(x→+∞) [f(x)−(ax+b)] = 0
  avec a = lim f(x)/x  et  b = lim [f(x)−ax]

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Sources : tadris.tn · bac-done.com