Dérivation

Le nombre dérivé de f en a est la limite (si elle existe) du taux d'accroissement : f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h Interprétation géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Si f est dérivable en tout point de son domaine, la fonction qui à x associe f'(x) est la fonction dérivée de f, notée f'. f' est elle-même une fonction qu'on peut étudier (variations, signe…). f'' = (f')' est la dérivée seconde de f (utile en Terminale pour la convexité).

(c)' = 0 (c constante) (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ (n entier ≠ 0) (√x)' = 1/(2√x) sur ]0;+∞[ (1/x)' = −1/x² sur ℝ* (eˣ)' = eˣ (ln x)' = 1/x sur ]0;+∞[ (Terminale) (sin x)' = cos x (Première) (cos x)' = −sin x (Première)

(u + v)' = u' + v' (ku)' = ku' (k constante) (uv)' = u'v + uv' ← formule du produit (très utilisée) (u/v)' = (u'v − uv') / v² (v ≠ 0) (u∘v)' (composée) = v' × (u'∘v) (si u=f et v=g : (f∘g)' = g'×f'(g)) Exemple : (sin(2x))' = 2cos(2x).

La tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)) a pour équation : y = f'(a)(x − a) + f(a) C'est une droite de coefficient directeur f'(a) passant par A. Si f'(a) = 0 : tangente horizontale (extremum potentiel). Exemple : f(x) = x², f'(x) = 2x, tangente en x=3 : y = 6(x−3)+9 = 6x−9.

Sur un intervalle I : • f'(x) > 0 sur I ⟹ f est strictement croissante sur I. • f'(x) < 0 sur I ⟹ f est strictement décroissante sur I. • f'(x) = 0 sur I ⟹ f est constante sur I. Extremum local : si f' change de signe en a → extremum (maximum si − à +, minimum si + à −).