Suites numériques

Une suite numérique (uₙ) est une fonction de ℕ (ou ℕ* ou une partie de ℕ) vers ℝ. • Formule explicite : uₙ = f(n) — on calcule directement le terme de rang n. • Définition par récurrence : u₀ (ou u₁) donné, puis uₙ₊₁ = f(uₙ) — chaque terme dépend du précédent. Exemple explicite : uₙ = 2n + 3. Exemple récurrent : u₀ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ.

Une suite (uₙ) est : • Croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n (ou uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0). • Strictement croissante si uₙ₊₁ > uₙ. • Décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ. • Constante si uₙ₊₁ = uₙ. Méthode : calculer uₙ₊₁ − uₙ (si positif → croissante) ou uₙ₊₁/uₙ (si > 1 → croissante pour termes positifs).

Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout n. Formule du terme général : uₙ = u₀ + n×r (ou uₙ = u₁ + (n−1)×r). La suite est croissante si r > 0, décroissante si r < 0. Exemple : u₀ = 5, r = 3 → uₙ = 5 + 3n. (u₅ = 20)

Somme des (n+1) premiers termes (de u₀ à uₙ) : S = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2 = (nombre de termes) × (premier + dernier) / 2 Formule alternative : S = (n+1) × u₀ + n(n+1)/2 × r Exemple : u₀=1, r=1 (entiers de 1 à 100) : S₁₀₀ = 101 × 100/2 = 5 050.

Une suite (uₙ) est géométrique de raison q (q ≠ 0) si uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout n. Formule du terme général : uₙ = u₀ × qⁿ. • Si q > 1 et u₀ > 0 : croissante. Si 0 < q < 1 et u₀ > 0 : décroissante. • Si q < 0 : valeurs alternativement positives et négatives. Exemple : u₀ = 2, q = 3 → uₙ = 2 × 3ⁿ. (u₄ = 2 × 81 = 162)

Somme des (n+1) premiers termes (u₀ à uₙ), pour q ≠ 1 : S = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q) Formule mémo : S = u₀ × (1 − q^(nb de termes)) / (1 − q) Pour q = 1 : S = (n+1) × u₀. Exemple : u₀=1, q=2, 10 termes → S = 1×(1−2¹⁰)/(1−2) = 1023.

On représente une suite par un nuage de points de coordonnées (n ; uₙ) dans un repère. La suite arithmétique donne des points alignés (sur la droite y = u₀ + r×x). La suite géométrique donne une courbe exponentielle. Un escalier entre y=x et y=f(x) représente la convergence d'une suite récurrente.