Produit scalaire

DEF 1 — Géométrique (cosinus) : u⃗·v⃗ = |u⃗|·|v⃗|·cos(u⃗,v⃗) (angle entre les deux vecteurs) DEF 2 — Par projection : u⃗·v⃗ = |u⃗|·proj_{u⃗}(v⃗) ou u⃗·v⃗ = |v⃗|·proj_{v⃗}(u⃗) DEF 3 — Coordonnées dans un repère orthonormé : Si u⃗(a;b) et v⃗(a';b') : u⃗·v⃗ = aa'+bb' RÉSULTAT IMPORTANT : u⃗·u⃗ = |u⃗|² u⃗ ⊥ v⃗ ↔ u⃗·v⃗=0

COMMUTATIVITÉ : u⃗·v⃗=v⃗·u⃗ BILINÉARITÉ : (u⃗+v⃗)·w⃗=u⃗·w⃗+v⃗·w⃗ (λu⃗)·v⃗=λ(u⃗·v⃗) IDENTITÉS REMARQUABLES : |u⃗+v⃗|²=|u⃗|²+2u⃗·v⃗+|v⃗|² |u⃗−v⃗|²=|u⃗|²−2u⃗·v⃗+|v⃗|² (u⃗+v⃗)·(u⃗−v⃗)=|u⃗|²−|v⃗|²

Dans le triangle ABC : BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos(A) Corollaire (Pythagore) : cos(A)=0 ↔ BC²=AB²+AC² DÉTERMINER UN ANGLE : cos(A)=(AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) DÉTERMINER UNE LONGUEUR : BC=√(AB²+AC²−2·AB·AC·cos(A))

⚡ Al-Kashi généralise Pythagore : si A=π/2, on retrouve BC²=AB²+AC².