Produit scalaire

Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs du plan, θ l'angle entre eux : 1/ Par les normes et cosinus : u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ 2/ Par les coordonnées (repère orthonormé) : u⃗(x, y) · v⃗(x', y') = xx' + yy' 3/ Par la norme d'une différence : u⃗ · v⃗ = (‖u⃗+v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²) / 2

Symétrie : u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗ Bilinéarité : (u⃗ + v⃗) · w⃗ = u⃗ · w⃗ + v⃗ · w⃗ (ku⃗) · v⃗ = k(u⃗ · v⃗) Norme : ‖u⃗‖² = u⃗ · u⃗ = x² + y² (si u⃗(x,y)) Identités remarquables : ‖u⃗ + v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2u⃗·v⃗ + ‖v⃗‖² ‖u⃗ − v⃗‖² = ‖u⃗‖² − 2u⃗·v⃗ + ‖v⃗‖²

Dans le triangle ABC, en notant a = BC, b = CA, c = AB : BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos(∠BAC) a² = b² + c² − 2bc·cos A Cas particulier : si ∠A = 90°, cos A = 0 → a² = b² + c² (Pythagore). Utilisation : calculer un côté connaissant deux côtés et l'angle entre eux, ou calculer un angle.

u⃗ · v⃗ = 0 ⟺ u⃗ ⊥ v⃗ (les vecteurs sont orthogonaux) Si u⃗ (non nul) et v⃗ (non nul) vérifient u⃗·v⃗ = 0 : les droites portées par ces vecteurs sont perpendiculaires. Réciproquement : si deux droites sont perpendiculaires, les vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul. Application : prouver la perpendicularité de deux droites, trouver un angle.