Géométrie repérée

Équation réduite : y = mx + p (m = pente, p = ordonnée à l'origine). Équation cartésienne : ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0). • Vecteur directeur de la droite (ax+by+c=0) : u⃗(−b ; a). • Vecteur normal de la droite : n⃗(a ; b) (perpendiculaire à la droite). Conversion : y = mx + p ↔ mx − y + p = 0 (a=m, b=−1, c=p).

Deux droites d₁ : a₁x+b₁y+c₁=0 et d₂ : a₂x+b₂y+c₂=0 : • Parallèles et distinctes : a₁b₂ = a₂b₁ et c₁b₂ ≠ c₂b₁ • Confondues : a₁b₂ = a₂b₁ et c₁b₂ = c₂b₁ • Sécantes : a₁b₂ ≠ a₂b₁ → résoudre le système 2×2 • Perpendiculaires : a₁a₂ + b₁b₂ = 0 (produit scalaire des normales nul)

Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation : (x − a)² + (y − b)² = r² Développée : x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0 Déterminer le centre et le rayon depuis la forme développée : compléter les carrés. Exemple : x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 → (x−2)² + (y+1)² = 9 → centre (2;−1), r=3.

Pour la droite d et le cercle C(Ω, r), calculer la distance δ = d(Ω, d) : • δ > r : la droite est EXTERNE (pas d'intersection). • δ = r : la droite est TANGENTE (1 point d'intersection). • δ < r : la droite est SÉCANTE (2 points d'intersection). Formule de la distance d'un point M(x₀;y₀) à la droite ax+by+c=0 : δ = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)