Variables aléatoires

Une variable aléatoire X est une fonction qui associe à chaque issue ω de l'univers Ω un nombre réel X(ω). L'ensemble des valeurs prises par X est {x₁, x₂, …, xₙ}. La loi de probabilité de X est le tableau : | X | x₁ | x₂ | … | xₙ | |-----|-----|-----|---|-----| | P | p₁ | p₂ | … | pₙ | Avec Σpᵢ = 1 (la somme des probabilités vaut 1).

E(X) = Σ xᵢ × pᵢ = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ Interprétation : valeur moyenne de X sur un grand nombre d'expériences (loi des grands nombres). Propriétés linéaires : E(aX + b) = a×E(X) + b ; E(X + Y) = E(X) + E(Y).

Variance : V(X) = E[(X − E(X))²] = E(X²) − [E(X)]² Avec E(X²) = Σ xᵢ² × pᵢ Écart-type : σ(X) = √V(X) Interprétation : plus σ est grand, plus les valeurs de X sont dispersées autour de la moyenne. Propriété : V(aX + b) = a² × V(X).

X suit la loi uniforme sur {1, 2, …, n} si chaque valeur a la même probabilité 1/n : P(X = k) = 1/n pour k ∈ {1, 2, …, n} Espérance : E(X) = (n + 1) / 2 Variance : V(X) = (n² − 1) / 12 Exemple : lancer d'un dé équilibré à 6 faces → E(X) = 7/2 = 3,5.