Définition de eˣ
DéfinitionLa fonction exponentielle est l'UNIQUE fonction f définie sur ℝ vérifiant :
f' = f et f(0) = 1
e = f(1) ≈ 2,71828…
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES :
e^(a+b) = eᵃ·eᵇ
e^(a−b) = eᵃ/eᵇ
e^(−a) = 1/eᵃ
(eᵃ)ⁿ = e^(na)
e⁰ = 1
eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ
(eˣ)' = eˣ > 0 → eˣ strictement CROISSANTE sur ℝ
LIMITES :
lim(x→−∞) eˣ = 0 (asymptote horizontale y=0)
lim(x→+∞) eˣ = +∞
CROISSANCES COMPARÉES :
lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ (exp≫polynôme)
lim(x→+∞) xⁿ·e^(−x) = 0
lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞
lim(x→0⁺) x·ln x = 0 (hors programme Première)
Courbe : passe par (0;1), tangente en 0 : y=x+1
Résolution d'équations et inéquations
Formule cléeˣ=eᵃ ↔ x=a (bijectivité)
eˣ=k (k>0) ↔ x=ln k (log en Terminale)
eˣ<eᵃ ↔ x<a (croissante)
ÉQUATIONS pratiques en Première :
Principalement de la forme eˣ=eᵃ ou après substitution
Exemple : e^(2x)=e^(3) → 2x=3 → x=3/2
INÉQUATION :
eˣ>k>0 ↔ x>ln k
⚡ En Première, eˣ=k se résout par 'x=ln k' mais ln est officiellement au programme de Terminale. Utiliser les propriétés algébriques directement.