Première · CH 04AnalyseSpécialité 2026-2027
Fonction exponentielle
📂 Section 2 — Analyse
Définition (f'=f, f(0)=1), propriétés algébriques, étude de eˣ, croissances comparées, équations.
📊 5 définitions & théorèmes·📝 3 exercices·⏱ ~5h
Légende :ThéorèmeDéfinitionFormule cléPropriétéMéthode
📐 Cours officiel — Définitions & Théorèmes
Définition de l'exponentielle
DéfinitionLa fonction exponentielle, notée exp ou eˣ, est l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que :
• f'= f (sa dérivée est elle-même)
• f(0) = 1
e ≈ 2,71828… est un nombre irrationnel (constante d'Euler).
Conséquence directe : (eˣ)' = eˣ pour tout x ∈ ℝ.
Propriétés algébriques
Formule cléPour tous réels a, b et tout entier n :
eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ
eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇ
(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ
e⁰ = 1
e⁻ᵃ = 1/eᵃ
Implication fondamentale : eᵃ = eᵇ ⟺ a = b (injectivité)
Étude de la fonction eˣ
PropriétéDomaine : ℝ
Dérivée : (eˣ)' = eˣ > 0 → strictement croissante sur ℝ
Limites : lim(x→−∞) eˣ = 0 et lim(x→+∞) eˣ = +∞
Signe : eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ (jamais nul, jamais négatif)
Courbe : passe par (0;1) et (1;e). Asymptote horizontale en −∞ : y = 0.
Croissances comparées
PropriétéComparaison eˣ avec les puissances de x :
lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ (pour tout n ∈ ℕ)
lim(x→−∞) xⁿ eˣ = 0 (pour tout n ∈ ℕ)
Interprétation : eˣ "grandit plus vite" que toute puissance de x au voisinage de +∞.
Exemples : lim(x→+∞) eˣ/x = +∞ ; lim(x→−∞) xe^x = 0.
Résoudre équations/inéquations avec eˣ
Méthodeeᵘ = eᵛ ⟺ u = v (stricte croissance)
eᵘ > eᵛ ⟺ u > v (stricte croissance)
Stratégie :
1. Isoler eˣ d'un côté.
2. Prendre le logarithme des deux membres si besoin (en Terminale).
Exemple : e²ˣ⁻¹ = e³ ⟺ 2x − 1 = 3 ⟺ x = 2.