Second degré

Un trinôme du second degré est une expression de la forme f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. • a est le coefficient du terme en x² (a > 0 → parabole ouverte vers le haut ; a < 0 → vers le bas). • Représentation graphique : une parabole de sommet S(α, β).

Tout trinôme ax² + bx + c se met sous la forme : a(x − α)² + β Avec : α = −b/(2a) et β = f(α) = c − b²/(4a) Le sommet de la parabole est S(α, β) = S(−b/(2a) ; β). Exemple : 2x² − 4x + 1 = 2(x − 1)² − 1 → sommet S(1, −1).

Pour f(x) = ax² + bx + c, le discriminant est Δ = b² − 4ac. • Δ > 0 : deux racines réelles distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a). • Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/(2a). • Δ < 0 : pas de racine réelle (deux racines complexes conjuguées en Terminale).

Si Δ > 0 : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) où x₁ et x₂ sont les deux racines. Si Δ = 0 : f(x) = a(x − x₀)². Si Δ < 0 : pas de factorisation dans ℝ. Relations racines-coefficients : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.

Pour f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) : • Si Δ < 0 : f(x) a le même signe que a pour tout x. • Si Δ = 0 : f(x) a le même signe que a sauf en x₀ où f(x₀) = 0. • Si Δ > 0 : f(x) est du signe de (−a) entre les racines x₁ et x₂, et du signe de a en dehors. Règle mnémotechnique : "signe de a sauf entre les racines".