Probabilités conditionnelles

La probabilité de B sachant A (noté P_A(B) ou P(B|A)) est définie par : P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) avec P(A) ≠ 0 Interprétation : probabilité que B se réalise, sachant que A est déjà réalisé. Conséquence : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) (formule des probabilités composées)

Si (A₁, A₂, …, Aₙ) est une partition de l'univers Ω (événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω), alors pour tout événement B : P(B) = P(A₁)×P_{A₁}(B) + P(A₂)×P_{A₂}(B) + … + P(Aₙ)×P_{Aₙ}(B) P(B) = Σ P(Aᵢ) × P_{Aᵢ}(B) Use : arbres de probabilités (lire chaque branche, additionner les chemins menant à B).

A et B sont indépendants si et seulement si : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) Équivalences : • P_A(B) = P(B) (réaliser A ne modifie pas la probabilité de B) • P_B(A) = P(A) ATTENTION : indépendance ≠ incompatibilité ! (Incompatibles : P(A∩B)=0 ; Indépendants : P(A∩B)=P(A)×P(B))

1. Représenter chaque étape par des branches avec les probabilités (conditionnelles). 2. La probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches. 3. Si plusieurs chemins mènent à un même événement, additionner leurs probabilités. Vérification : la somme de toutes les feuilles = 1.