Vecteurs — définition et opérations
DéfinitionVECTEUR AB⃗ :
• Direction : droite (AB)
• Sens : de A vers B
• Norme : |AB⃗|=AB (longueur)
Deux vecteurs ÉGAUX si même direction, sens et norme.
Vecteur nul 0⃗ : norme nulle.
Vecteur opposé : BA⃗=−AB⃗
ADDITION (règle du parallélogramme ou chaîne) :
u⃗+v⃗ = diagonale du parallélogramme
AB⃗+AC⃗ = AD⃗ (D 4e sommet)
MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE :
λu⃗ : même direction ; sens selon signe(λ) ; norme |λ||u⃗|
Relation de Chasles
ThéorèmePour tous points A,B,C :
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
Conséquences :
AA⃗ = 0⃗
AB⃗ = −BA⃗
AB⃗ = AC⃗ + CB⃗ (ou toute décomposition)
COLINÉARITÉ :
u⃗ et v⃗ colinéaires ↔ ∃λ∈ℝ : u⃗=λv⃗
→ Points A,B,C alignés ↔ AB⃗ et AC⃗ colinéaires
Théorème de Thalès
ThéorèmeDroites (BC) et (B'C') parallèles, sécantes à (AB) et (AC) :
AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC
(et réciproquement : si les rapports sont égaux → parallèles)
Théorème de PYTHAGORE :
ABC rectangle en A : BC²=AB²+AC²
(Réciproque : BC²=AB²+AC² → angle A droit)
CORRECTION : médiane/médiatrice/bissectrice :
Médiatrice de [AB] : ensemble des points équidistants de A et B.