Intervalles, Inégalités & Inéquations

[a;b] = {x∈ℝ : a≤x≤b} (fermé) ]a;b[ = {x∈ℝ : a<x<b} (ouvert) [a;b[ = {x∈ℝ : a≤x<b} (semi-ouvert) [a;+∞[ = {x∈ℝ : x≥a} ]−∞;b] = {x∈ℝ : x≤b} INTERSECTION ET UNION : [1;4]∩[2;6]=[2;4] [1;4]∪[2;6]=[1;6]

Si a≤b : a+c ≤ b+c (ajouter la même chose) a−c ≤ b−c λ>0 : λa ≤ λb (multiplier par positif : même sens) λ<0 : λa ≥ λb ← ATTENTION : INVERSION du sens ! ⚠️ Diviser par un négatif → inverser le signe ! −2x ≤ 6 ↔ x ≥ −3 TRANSITIVITÉ : a≤b et b≤c → a≤c

⚡ L'erreur la plus fréquente en Seconde : oublier d'inverser le sens en multipliant par un nombre négatif.

|x| = x si x≥0 ; |x| = −x si x<0 |x| = distance entre x et 0 sur la droite réelle PROPRIÉTÉS : |x|≥0 ; |x|=0 ↔ x=0 |xy|=|x||y| |x/y|=|x|/|y| (y≠0) |x+y|≤|x|+|y| (inégalité triangulaire) RÉSOLUTIONS : |x|≤a ↔ −a≤x≤a ↔ x∈[−a;a] |x|≥a ↔ x≤−a ou x≥a ↔ x∈]−∞;−a]∪[a;+∞[