Dérivation avancée

La dérivée seconde de f est f'' = (f')'. Définition géométrique de la convexité : • f est convexe sur I si sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur I. • f est concave sur I si sa courbe est en-dessous de toutes ses tangentes sur I. Critère algébrique : f''(x) ≥ 0 sur I ⟺ f est convexe sur I f''(x) ≤ 0 sur I ⟺ f est concave sur I

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité (f'' change de signe). À un point d'inflexion I(a ; f(a)) : • f''(a) = 0 et f'' change de signe en a. • La tangente en I traverse la courbe. Exemple : f(x) = x³ → f''(x) = 6x, change de signe en 0 → inflexion en (0;0).

Si f est continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[, alors il existe c ∈ ]a;b[ tel que : f'(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a) Interprétation : il existe une tangente à la courbe parallèle à la corde [AB]. Inégalité des accroissements finis : si m ≤ f'(x) ≤ M sur ]a;b[, alors : m(b−a) ≤ f(b)−f(a) ≤ M(b−a)