Dérivée seconde et convexité
Définitionf''(x)=(f')'(x)
f CONVEXE sur I :
f''(x)≥0 sur I
↔ Courbe au-dessus de toute tangente
↔ f(λa+(1−λ)b)≤λf(a)+(1−λ)f(b) ∀λ∈[0;1]
f CONCAVE sur I :
f''(x)≤0 sur I
↔ Courbe en dessous de toute tangente
POINT D'INFLEXION en a :
f''(a)=0 ET f'' change de signe en a
→ Tangente traverse la courbe
⚡ Convexe = sourire 😊 ; Concave = tristesse 😢. La convexité a des applications en optimisation (fonction objectif convexe → minimum global unique).
Théorème des Accroissements Finis (TAF)
Théorèmef continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ :
∃c∈]a,b[ : f'(c)=[f(b)−f(a)]/(b−a)
INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS :
m≤f'(x)≤M sur ]a,b[
→ m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)
COROLLAIRE :
f'=0 sur ]a,b[ → f constante
f'>0 sur ]a,b[ → f strictement croissante