Intégration

F est une primitive de f sur I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I. Toutes les primitives de f diffèrent d'une constante : F(x) + C. Primitives usuelles : xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1) 1/x → ln|x| eˣ → eˣ cos x → sin x sin x → −cos x 1/√x → 2√x

Si F est une primitive de f sur [a;b] : ∫ₐᵇ f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a) Propriétés : • Linéarité : ∫(αf+βg) = α∫f + β∫g • Relation de Chasles : ∫ₐᶜ f = ∫ₐᵇ f + ∫ᵦᶜ f • Positivité : si f ≥ 0 sur [a;b] → ∫ₐᵇ f ≥ 0 • ∫ₐᵃ f(x)dx = 0 ; ∫ᵦᵃ f = −∫ₐᵇ f

∫ₐᵇ u'(x)·v(x) dx = [u(x)·v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)·v'(x) dx Choix stratégique : u' = terme qu'on "sait intégrer", v = terme qu'on "sait dériver". Typiquement : ∫ xeˣ dx → u'=eˣ, v=x ∫ ln x dx → u'=1, v=ln x ∫ x·sin x dx → u'=sin x, v=x

Aire entre la courbe de f et l'axe des x sur [a;b] : A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx (toujours positive) Aire entre deux courbes (f ≥ g sur [a;b]) : A = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx Valeur moyenne de f sur [a;b] : m = (1/(b−a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx