Limite d'une suite
Définition(uₙ) converge vers ℓ : lim uₙ=ℓ
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n≥N ⟹ |uₙ−ℓ|<ε
• Suite divergente : pas de limite finie
• lim uₙ=+∞ : uₙ→+∞ (diverge vers +∞)
• lim uₙ=−∞ : uₙ→−∞
Suites géométriques (uₙ=q·uₙ₋₁) :
|q|<1 → qⁿ→0
q=1 → qⁿ=1
q>1 → qⁿ→+∞
q≤−1 → pas de limite
Opérations sur les limites
PropriétéSi lim uₙ=ℓ, lim vₙ=m (ℓ,m∈ℝ) :
lim(uₙ+vₙ)=ℓ+m
lim(uₙ·vₙ)=ℓm
lim(uₙ/vₙ)=ℓ/m (m≠0)
Formes indéterminées :
∞−∞ ; ∞/∞ ; 0×∞ ; 0/0
→ Lever en factorisant ou conjugué
⚡ Toujours identifier si la forme est indéterminée avant d'appliquer les règles d'opérations.
Théorème des gendarmes
Théorème∀n≥N₀ : uₙ≤wₙ≤vₙ
et lim uₙ=lim vₙ=ℓ
→ lim wₙ=ℓ
Exemple : 0≤|sin n/n|≤1/n → lim sin(n)/n=0
COROLLAIRE : si |uₙ|≤vₙ et vₙ→0, alors uₙ→0.