Suites — Limites & Convergence

La suite (uₙ) converge vers ℓ (lim uₙ = ℓ) si les termes uₙ sont arbitrairement proches de ℓ pour n assez grand. Formellement : ∀ε>0, ∃N∈ℕ, n≥N ⟹ |uₙ−ℓ| < ε. • Suite divergente : ne converge pas vers un réel fini. • lim uₙ = +∞ : les termes deviennent arbitrairement grands. • lim uₙ = −∞ : les termes deviennent arbitrairement petits.

Si lim uₙ = ℓ et lim vₙ = m (ℓ, m ∈ ℝ) : lim (uₙ + vₙ) = ℓ + m lim (uₙ × vₙ) = ℓ × m lim (uₙ/vₙ) = ℓ/m (si m ≠ 0) Formes indéterminées : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0 → lever l'indétermination (factoriser, conjugué, taux…). Limites des suites géométriques : si |q|<1 → qⁿ→0 ; q=1 → qⁿ=1 ; q>1 → qⁿ→+∞ ; q≤−1 → pas de limite.

Si uₙ ≤ wₙ ≤ vₙ pour tout n à partir d'un certain rang, et si lim uₙ = lim vₙ = ℓ, alors lim wₙ = ℓ. Application classique : pour montrer qu'une suite tend vers 0, l'encadrer entre deux suites tendant vers 0. Exemple : 0 ≤ sin(n)/n ≤ 1/n → lim sin(n)/n = 0.

Théorème (admis) : • Toute suite croissante et majorée converge. • Toute suite décroissante et minorée converge. Corollaire : pour une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) qui converge vers ℓ, ℓ est un point fixe de f : f(ℓ) = ℓ.

Une suite arithmético-géométrique vérifie : uₙ₊₁ = a·uₙ + b (a ≠ 0, a ≠ 1). Méthode de résolution : 1. Trouver le point fixe ℓ tel que ℓ = a·ℓ + b → ℓ = b/(1−a). 2. Poser vₙ = uₙ − ℓ → vₙ est géométrique de raison a. 3. vₙ = v₀·aⁿ → uₙ = ℓ + (u₀−ℓ)·aⁿ. Comportement : si |a|<1 → uₙ→ℓ ; si |a|>1 → diverge.