Term. Générale · CH 05AnalyseBac 2027 · Coef. 16
Logarithme népérien
📂 Section 2 — Analyse
Définition comme primitive de 1/x, propriétés algébriques, étude complète de ln x, croissances comparées.
📊 4 théorèmes & formules·📝 3 exercices·⏱ ~5h
Légende :ThéorèmeDéfinitionFormule cléPropriétéMéthode
📐 Cours officiel — Théorèmes & Formules
Définition du logarithme népérien
DéfinitionLa fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive de x ↦ 1/x sur ℝ₊* qui s'annule en 1.
Autrement dit : (ln x)' = 1/x pour x > 0, et ln(1) = 0.
Conséquence : ln est la réciproque de l'exponentielle :
ln(eˣ) = x pour tout x ∈ ℝ
e^(ln x) = x pour tout x > 0
Propriétés algébriques
Formule cléPour tous a, b > 0 et tout entier n ∈ ℤ :
ln(a×b) = ln a + ln b
ln(a/b) = ln a − ln b
ln(aⁿ) = n·ln a
ln(√a) = (1/2)·ln a
ln(1/a) = −ln a ; ln(1) = 0 ; ln(e) = 1
Implication : ln a = ln b ⟺ a = b (stricte croissance)
Étude de la fonction ln
PropriétéDomaine : ]0;+∞[
Dérivée : (ln x)' = 1/x > 0 → strictement croissante sur ]0;+∞[
Signe : ln x < 0 si 0<x<1 ; ln x = 0 si x=1 ; ln x > 0 si x>1
Limites : lim(x→0⁺) ln x = −∞ ; lim(x→+∞) ln x = +∞
Concavité : (ln x)'' = −1/x² < 0 → concave sur ]0;+∞[
Croissances comparées
Propriétélim(x→+∞) (ln x)/xᵅ = 0 pour tout α > 0
lim(x→0⁺) x·ln x = 0
lim(x→+∞) (ln x)/xⁿ = 0 pour tout n > 0
Interprétation : ln x "grandit moins vite" que toute puissance positive de x.
Formules à connaître :
(ln u)' = u'/u (dérivée composée, u > 0)
(ln|u|)' = u'/u sur tout intervalle où u ≠ 0