Nombres complexes

Un nombre complexe z s'écrit z = a + ib, où a,b ∈ ℝ et i² = −1. • a = Re(z) est la partie réelle • b = Im(z) est la partie imaginaire • Conjugué : z̄ = a − ib Opérations : Addition : (a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d) Multiplication : (a+ib)(c+id) = (ac−bd)+i(ad+bc) Inverse : 1/z = z̄/|z|² (si z ≠ 0)

Module : |z| = √(a²+b²) (distance à l'origine dans le plan complexe) Argument : arg(z) = θ tel que cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z| (défini à 2kπ près) Propriétés : |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| arg(z₁·z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) [mod 2π] |z̄| = |z| ; |1/z| = 1/|z|

Forme trigonométrique : z = r(cosθ + i sinθ) avec r = |z| ≥ 0 et θ = arg(z) Forme exponentielle (Euler) : z = r·eⁱᶿ Formule d'Euler : eⁱᶿ = cosθ + i sinθ Propriété : eⁱᶿ · eⁱᶿ' = eⁱ⁽ᶿ⁺ᶿ'⁾ → arg(z₁·z₂) = θ₁+θ₂ → arg(z₁/z₂) = θ₁−θ₂

Pour tout entier n ∈ ℤ et tout θ ∈ ℝ : (cosθ + i sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) Équivalent : (eⁱᶿ)ⁿ = eⁱⁿᶿ Application : calcul de cos(2θ) et sin(2θ) en fonction de cosθ et sinθ : (cosθ + i sinθ)² = cos²θ − sin²θ + i·2sinθcosθ → cos(2θ) = cos²θ − sin²θ ; sin(2θ) = 2sinθcosθ

Les solutions de zⁿ = 1 sont les n racines n-ièmes de l'unité : zₖ = eⁱ²ᵏᵖⁱ/ⁿ = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) pour k = 0, 1, …, n−1 Elles forment un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité. Racines carrées de l'unité : ±1 Racines cubiques : 1, e^(2iπ/3), e^(4iπ/3)

Dans le plan complexe (plan d'Argand) : • Tout point M(x,y) ↔ affixe z = x + iy • |z₁ − z₂| = distance entre les points d'affixes z₁ et z₂ • arg(z₂ − z₁) = angle de rotation de z₁ vers z₂ Équation du cercle : |z − z₀| = r (centre z₀, rayon r) Équation de la médiatrice : |z − z₁| = |z − z₂|