Nombres Complexes

Forme algébrique, module, argument, forme exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes, géométrie complexe, transformations.

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ℂ Forme algébrique et module

Nombre complexe — formes

Définition

z=a+ib, a,b∈ℝ, i²=−1 Re(z)=a ; Im(z)=b ; Conjugué z̄=a−ib |z|=√(a²+b²) ; |z|²=z·z̄ z réel ↔ z=z̄ ; z imaginaire pur ↔ z=−z̄ 1/z=z̄/|z|² RÈGLES : |z₁z₂|=|z₁||z₂| ; arg(z₁z₂)=arg(z₁)+arg(z₂) |z₁/z₂|=|z₁|/|z₂| ; arg(z₁/z₂)=arg(z₁)−arg(z₂)

Forme exponentielle — Euler

Formule clé

eⁱᶿ=cosθ+i sinθ (formule d'Euler) z=r·eⁱᶿ (r=|z|, θ=arg(z)) Linéarisation : cosθ=(eⁱᶿ+e⁻ⁱᶿ)/2 sinθ=(eⁱᶿ−e⁻ⁱᶿ)/(2i) eⁱᵖ=−1 (identité d'Euler)

⚡ La forme exponentielle est la plus efficace pour les puissances et racines.

Exercices

EX-CX1FacileForme exponentielle

Écrire z=−√3+i sous forme exponentielle.

Nombres Complexes

2.1 Formes et opérations

2.2 Moivre, racines et géométrie