Limites & Continuité

lim(x→a) f(x) = ℓ si f(x) est arbitrairement proche de ℓ quand x s'approche de a (sans atteindre a). Limite à gauche : lim(x→a⁻) f(x) — x s'approche de a par valeurs inférieures. Limite à droite : lim(x→a⁺) f(x) — x s'approche par valeurs supérieures. La limite en a existe ⟺ les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

• Asymptote verticale x=a : lim(x→a) f(x) = ±∞ • Asymptote horizontale y=ℓ : lim(x→±∞) f(x) = ℓ • Asymptote oblique y=ax+b : lim(x→±∞) [f(x)−(ax+b)] = 0 avec a = lim f(x)/x et b = lim [f(x)−ax]

Règles habituelles : somme, produit, quotient, composée. Formes indéterminées à lever : ∞−∞ → factoriser ou conjugué 0/0 → simplifier ou règle de L'Hôpital ∞/∞ → diviser par la puissance dominante 0×∞ → réécrire en 0/0 ou ∞/∞ 1^∞ → passer au logarithme

Comparaison exponentielles, polynômes, logarithme : lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ (exp "gagne" sur toute puissance) lim(x→−∞) xⁿeˣ = 0 (exp "écrase" toute puissance) lim(x→+∞) (ln x)/xᵅ = 0 (ln "perd" devant toute puissance, α>0) lim(x→0⁺) x·ln x = 0 Conséquence : pour les limites en ∞, la hiérarchie est : ln ≪ puissances ≪ exp.

Si f est continue sur [a;b] et si k est un réel strictement compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c ∈ ]a;b[ tel que f(c) = k. Corollaire : si f est continue sur [a;b] et f(a)·f(b) < 0, alors f s'annule au moins une fois sur ]a;b[. Si f est de plus strictement monotone : il existe un unique c tel que f(c) = k.

Pour encadrer une solution de f(x)=0 sur [a;b] : 1. Calculer m = (a+b)/2. 2. Si f(m) = 0 → solution trouvée. 3. Si f(a)·f(m) < 0 → recommencer sur [a;m]. 4. Sinon → recommencer sur [m;b]. 5. Répéter jusqu'à l'intervalle de précision souhaitée. Chaque étape divise la longueur par 2 → après n étapes : longueur = (b−a)/2ⁿ.