Vecteurs & Repères dans l'espace

Un vecteur de l'espace est défini par sa direction, son sens et sa norme. Relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ Repère de l'espace : (O ; i⃗, j⃗, k⃗) — O origine, i⃗, j⃗, k⃗ vecteurs unitaires non coplanaires. Coordonnées d'un vecteur : u⃗(x;y;z) si u⃗ = x·i⃗ + y·j⃗ + z·k⃗ Norme : ‖u⃗‖ = √(x²+y²+z²)

Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires si v⃗ = k·u⃗ pour un réel k. Dans un repère : u⃗(a;b;c) et v⃗(a';b';c') colinéaires ⟺ les coordonnées sont proportionnelles. Trois vecteurs u⃗, v⃗, w⃗ sont coplanaires si l'un d'eux est combinaison linéaire des deux autres : w⃗ = αu⃗ + βv⃗. Trois points A, B, C coplanaires avec un 4ème point D ⟺ AD⃗ = αAB⃗ + βAC⃗.

La droite passant par A(x₀;y₀;z₀) et de vecteur directeur u⃗(a;b;c) a pour représentation paramétrique : x = x₀ + at y = y₀ + bt avec t ∈ ℝ z = z₀ + ct Pour trouver si un point M appartient à une droite : résoudre le système et vérifier la cohérence.