Équations Différentielles

y'=ay (a∈ℝ, a≠0) : Solution générale : y=C·eᵃˣ (C∈ℝ) Condition initiale y(x₀)=y₀ : C=y₀·e^(−ax₀) y=y₀·e^(a(x−x₀)) Interprétation : a>0 : croissance exponentielle a<0 : décroissance (demi-vie t_{1/2}=ln2/|a|)

Solution particulière (constante) : y*=−b/a Solution générale : y=C·eᵃˣ−b/a Méthode : 1. Solution particulière constante 2. Solution générale de y'=ay (homogène) 3. Sol. générale = particulière + homogène 4. Condition initiale pour trouver C Si a=0 : y'=b → y=bx+C

⚡ Pour y'=f(x) (second membre quelconque) : y=∫f(x)dx+C.