Équations différentielles

Les solutions de y' = ay (a ∈ ℝ) sont les fonctions : y(x) = C·eᵃˣ où C est une constante réelle quelconque. Démonstration rapide : si y'=ay, alors (y·e⁻ᵃˣ)' = y'e⁻ᵃˣ − ay·e⁻ᵃˣ = 0 → y·e⁻ᵃˣ = C. Condition initiale y(x₀) = y₀ : C = y₀·e⁻ᵃˣ⁰ → solution unique.

1. Solution particulière constante yₚ : y' = 0 → 0 = a·yₚ + b → yₚ = −b/a 2. Solution de l'équation homogène associée y' = ay : yₕ = C·eᵃˣ 3. Solution générale : y(x) = C·eᵃˣ − b/a Avec condition initiale y(0) = y₀ : C = y₀ + b/a Donc y(x) = (y₀ + b/a)·eᵃˣ − b/a

Croissance/décroissance exponentielle : y'= k·y • k > 0 : croissance (population, intérêts composés) • k < 0 : décroissance (radioactivité, médicament) Loi de Newton (refroidissement) : T'= −k(T − T_ext) → Solution : T(t) = T_ext + (T₀ − T_ext)·e⁻ᵏᵗ Circuit RC : q'= −q/(RC) + U/R → Solution : charge ou décharge exponentielle du condensateur.