Loi normale (Gauss)

Une variable aléatoire X suit la loi normale N(μ,σ²) si sa densité est : f(x) = (1/(σ√(2π)))·exp(−(x−μ)²/(2σ²)) Paramètres : • μ : espérance (E(X) = μ), position du centre de la courbe en cloche • σ² : variance (V(X) = σ²), σ : écart-type, "largeur" de la cloche La courbe est symétrique par rapport à x = μ.

La loi N(0,1) est la loi normale avec μ=0 et σ=1. Standardisation : si X suit N(μ,σ²), alors Z = (X−μ)/σ suit N(0,1). Propriété de symétrie : P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a) Intervalles usuels (à retenir) : P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,683 (≈ 68%) P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,954 (≈ 95%) P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 0,997 (≈ 99,7%)

Si X suit la loi B(n,p) avec n grand, np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5, alors X est approximativement normale : X ≈ N(np ; np(1−p)) Standardisation : Z = (X − np) / √(np(1−p)) ≈ N(0,1) Utilisation : calculer des probabilités de la loi binomiale via la table de la loi normale.