Limites et Continuité

Limite finie/infinie en un point ou à l'infini, formes indéterminées, asymptotes (AV, AH, AO), TVI, théorème de la bijection, croissances comparées.

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∞ Opérations et formes indéterminées

Limite d'une fonction

Définition

lim(x→a) f(x)=ℓ : f(x) arbitrairement proche de ℓ pour x→a Opérations (ℓ,m finis) : lim(f+g)=ℓ+m ; lim(fg)=ℓm ; lim(f/g)=ℓ/m (m≠0) Formes indéterminées à lever : 0/0 → factoriser ou conjugué ∞/∞ → terme dominant ∞−∞ → factoriser ou mettre en facteur 0×∞ → réécrire Terme dominant (polynôme) : lim(x→±∞) aₙxⁿ+…+a₀ = lim aₙxⁿ

Limites fondamentales et croissances comparées

Formule clé

lim(x→0) sin x/x = 1 lim(x→0) (eˣ−1)/x = 1 lim(x→0) ln(1+x)/x = 1 CROISSANCES COMPARÉES (x→+∞) : eˣ ≫ xⁿ ≫ ln x (∀n>0) lim eˣ/xⁿ=+∞ ; lim xⁿ/eˣ=0 lim(ln x)/xᵅ=0 ; lim x·ln x=+∞ lim(x→0⁺) x·ln x=0

⚡ En EG : ces limites servent à étudier les fonctions de coût et de recette à long terme.

Exercices

EX-LC1FacileForme 0/0

Calculer lim(x→1) (x²−1)/(x−1).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LC2IntermédiaireForme ∞/∞

Calculer lim(x→+∞) (3x²+x)/(x²−1).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LC3DifficileForme ∞−∞

Calculer lim(x→+∞) [√(x²+2x)−x].

Limites et Continuité

2.1 Calcul des limites

2.2 Asymptotes et continuité